Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. Локальная предельная теорема
При рассмотрении числовых примеров предыдущего параграфа было замечено, что при больших значениях пит вычисление вероятностей Рп(т) превращается в технически сложную задачу. Это обстоятельство было отмечено в ряде работ математиков начала XVIII века, посвященных демографическим проблемам. Возникла необходимость в асимптотических
ь
формулах как для Рп(т), так и для 2 Рп(т). Эта задача была исчер-
т —а
пывающе решена Абрахамом де Муавром (1667—1754), французским математиком, всю жизнь прожившим в Англии. Позднее неоднократно две замечательные его теоремы, к формулировке и доказательству которых мы и перейдем, находили применения и широкие обобщения. Первая из них получила наименование локальной предельной теоремы.
Локальная теорема Муавра. Если вероятность наступления некоторого события в п независимых испытаниях постоянна и равна р (0 < р < 1), то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при п -+°° соотношению
1 -1.x2
yfnpqPn(m) ' ------ е 2 1 (1)
у/2И
равномерно для всех т, для которых m - пр
х = хтп= ---------- (2)
sfnpq
находится в каком-либо конечном интервале.
78
Гл. 2. Схема Бернулли
Доказательство. Приводимое нами доказательство опирается на известную из курса математического анализа формулу Стирлинга (одновременно открытую и Муавром)
х! = \fbns sse~~seds в которой остаточный показатель 0S удовлетворяет неравенству
10,1 < • (2') 12s
Заметим, что равенство (2) может быть записано в виде
т = пр + х \fnpq.
Отсюда следует, что
п - m-nq —х \fnpq.
Последние равенства показывают, что если х остается в каком-либо ограниченном отрезке, то числа т и п - т возрастают до бесконечности вместе с п. После этого замечания мы можем использовать формулу Стир-
линга. Ее применение дает нам
*„(«) = - -- --- pmqn т =
т\(п - ту
= _I_/=5ZI,.
у/2ж т(п-т) \т / \п - т )
1/11 1
= вп-вт -Vji-т < 7Г:(~ + ~ + ---------
12 \п т п -
где
в
Отсюда мы видим, что, каков бы ни был отрезок а < х < Ь, величина в равномерно относительно х в этом отрезке стремится к нулю при п-+°°. Следовательно, множитель е~° при том же условии равномерно стремится к единице.
Рассмотрим теперь величину
(п \т { п \п~т
InAn = In - р) ------------ q)
\т / \ n —т 1
=-(пр + х s/npq ) ln( 1 +x\J—\ —(nq -x-yjnpq )in( 1 -xy/—) ¦
\ пр I > пр/
§ 10. Локальная предельная теорема
79
Гя Гр
В условиях теоремы величины V— и V — при достаточно боль-
пр nq
ших п могут быть сделаны как угодно малыми, поэтому можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд. Ограничившись двумя первыми членами, находим
\ пр/ пр 2 пр \из/2 /
_Х/Е),_xfL _ I s*L + о (_Ц .
\ nq} nq 2 nq \п3/2 '
Несложные подсчеты показывают, что InА„ = — — + О (-------------^ и
2 VvW
равномерно относительно п в любом конечном отрезке х
X2
Ап: е 2 -> 1 (и .
Далее, \fnpq ¦ ------*¦ 1 равномерно в каждом конечном
от (л - от)
отрезке х.
Приведенные подсчеты доказывают теорему.
По существу теми же подсчетами можно доказать аналогичную локальную теорему и для полиномиального распределения.
Локальная теорема. Если вероятности рг, р2..................Рк появления соответственно событий А^...............................А^ в и-м испытании не зави-
сят от номера испытания и отличны от 0 и от 1 (0 < р,< 1.. i = 1, 2,... ,к), то вероятность m2, . . •, mk) того, что при п независимых испытаниях события (i = 1,2,, к) появятся гщраз (гпг + т2 + . . . + = п),
удовлетворяет соотношению
у/пк 1 Р„ (т1уш2, . . . ,тк):
к-1
(п -*¦ оо)
равномерно для всех отг (i = 1, 2......к) для которых jc,- = m‘ ПРг
'Jnpt4i
находятся в произвольных конечных интервалах а,- < jc, < bf.
80 Гл. 2. Схема Бернулли
к к
Из равенства 2 ш,- = п вытекает соотношение 2 х,- \fnpiqi = 0,
1 = 1 /=1
которое позволяет одно из х,- выразить через остальные. Заметим вдобавок,