Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 31

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 176 >> Следующая


§ 10. Локальная предельная теорема

При рассмотрении числовых примеров предыдущего параграфа было замечено, что при больших значениях пит вычисление вероятностей Рп(т) превращается в технически сложную задачу. Это обстоятельство было отмечено в ряде работ математиков начала XVIII века, посвященных демографическим проблемам. Возникла необходимость в асимптотических

ь

формулах как для Рп(т), так и для 2 Рп(т). Эта задача была исчер-

т —а

пывающе решена Абрахамом де Муавром (1667—1754), французским математиком, всю жизнь прожившим в Англии. Позднее неоднократно две замечательные его теоремы, к формулировке и доказательству которых мы и перейдем, находили применения и широкие обобщения. Первая из них получила наименование локальной предельной теоремы.

Локальная теорема Муавра. Если вероятность наступления некоторого события в п независимых испытаниях постоянна и равна р (0 < р < 1), то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при п -+°° соотношению

1 -1.x2

yfnpqPn(m) ' ------ е 2 1 (1)

у/2И

равномерно для всех т, для которых m - пр

х = хтп= ---------- (2)

sfnpq

находится в каком-либо конечном интервале.
78

Гл. 2. Схема Бернулли

Доказательство. Приводимое нами доказательство опирается на известную из курса математического анализа формулу Стирлинга (одновременно открытую и Муавром)

х! = \fbns sse~~seds в которой остаточный показатель 0S удовлетворяет неравенству

10,1 < • (2') 12s

Заметим, что равенство (2) может быть записано в виде

т = пр + х \fnpq.

Отсюда следует, что

п - m-nq —х \fnpq.

Последние равенства показывают, что если х остается в каком-либо ограниченном отрезке, то числа т и п - т возрастают до бесконечности вместе с п. После этого замечания мы можем использовать формулу Стир-

линга. Ее применение дает нам

*„(«) = - -- --- pmqn т =

т\(п - ту

= _I_/=5ZI,.

у/2ж т(п-т) \т / \п - т )

1/11 1

= вп-вт -Vji-т < 7Г:(~ + ~ + ---------

12 \п т п -

где

в

Отсюда мы видим, что, каков бы ни был отрезок а < х < Ь, величина в равномерно относительно х в этом отрезке стремится к нулю при п-+°°. Следовательно, множитель е~° при том же условии равномерно стремится к единице.

Рассмотрим теперь величину

(п \т { п \п~т

InAn = In - р) ------------ q)

\т / \ n —т 1

=-(пр + х s/npq ) ln( 1 +x\J—\ —(nq -x-yjnpq )in( 1 -xy/—) ¦

\ пр I > пр/
§ 10. Локальная предельная теорема

79

Гя Гр

В условиях теоремы величины V— и V — при достаточно боль-

пр nq

ших п могут быть сделаны как угодно малыми, поэтому можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд. Ограничившись двумя первыми членами, находим

\ пр/ пр 2 пр \из/2 /

_Х/Е),_xfL _ I s*L + о (_Ц .

\ nq} nq 2 nq \п3/2 '

Несложные подсчеты показывают, что InА„ = — — + О (-------------^ и

2 VvW

равномерно относительно п в любом конечном отрезке х

X2

Ап: е 2 -> 1 (и .

Далее, \fnpq ¦ ------*¦ 1 равномерно в каждом конечном

от (л - от)

отрезке х.

Приведенные подсчеты доказывают теорему.

По существу теми же подсчетами можно доказать аналогичную локальную теорему и для полиномиального распределения.

Локальная теорема. Если вероятности рг, р2..................Рк появления соответственно событий А^...............................А^ в и-м испытании не зави-

сят от номера испытания и отличны от 0 и от 1 (0 < р,< 1.. i = 1, 2,... ,к), то вероятность m2, . . •, mk) того, что при п независимых испытаниях события (i = 1,2,, к) появятся гщраз (гпг + т2 + . . . + = п),

удовлетворяет соотношению

у/пк 1 Р„ (т1уш2, . . . ,тк):

к-1

(п -*¦ оо)

равномерно для всех отг (i = 1, 2......к) для которых jc,- = m‘ ПРг

'Jnpt4i

находятся в произвольных конечных интервалах а,- < jc, < bf.
80 Гл. 2. Схема Бернулли

к к

Из равенства 2 ш,- = п вытекает соотношение 2 х,- \fnpiqi = 0,

1 = 1 /=1

которое позволяет одно из х,- выразить через остальные. Заметим вдобавок,
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed