Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний. Этот тип испытаний был впервые исследован знаменитым швейцарским ученым Якобом Бернулли (1654—1705) в произведении ”Ars con-
§ 9. Вводные замечания
73
jectandi” (Искусство предположений), изданном после смерти автора в 1713 г., и потому получил наименование схемы Бернулли. Подробное исследование таких последовательностей испытаний заслуживает внимания как в силу исключительного их значения в теории вероятностей и в приложениях, так и в силу выявившейся в процессе развития теории вероятностей возможности обобщения тех закономерностей, которые впервые были открыты при изучении схемы последовательных независимых испытаний. Многие факты, подмеченные на схеме Бернулли, впоследствии служили путеводной нитью при изучении более сложных схем. Сделанное замечание относится как к прошлому, так и современному развитию теории вероятностей. Мы убедимся в этом на примерах закона больших чисел и теоремы Муавра — Лапласа.
Рассмотрим теперь следующий вопрос: что следует понимать в схеме Бернулли под элементарным событием? Очевидно, что это последовательность наступлений и ненаступлений интересующего нас события А в последовательных испытаниях. Отнесем наступлению события А единицу, а не-наступлению — нуль. Тогда элементарным событием для п испытаний будет последовательность из и нулей и единиц. Например, если п = 3, то все возможные элементарные события записываются следующими тройками названных нами символов: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (1,1,1). Смысл каждой из написанных троек чисел Ои 1 ясен. Первая из перечисленных троек означает, что во всех трех испытаниях событие А не наступило. Вторая тройка означает, что в первых двух испытаниях событие А не наступило, а в третьем — произошло. Легко понять, что множество всех элементарных событий при и испытаниях состоит из 2” элементов.
Теперь мы должны ввести вероятностную меру на множестве элементарных событий. Это делается однозначно. Действительно, вероятность наступления события А в испытании с номером к равна р, а его ненаступления — q = 1 — р. Наступление или ненаступление события А в испытаниях с разными номерами для схемы Бернулли независимы. Значит, в силу теоремы умножения вероятностей, вероятность того, что событие А наступит в т определенных испытаниях (например, в испытаниях с номерами sl,s1,... ... , sm), а при остальных п - т не наступит, равна pmqn~m. Эта вероятность не зависит от того, как расположены номера s1,'s2,.. ., sm.
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности Pn(jri) того, что в п испытаниях событие А произойдет т раз (0 < т < п).
Мы только что нашли, что вероятность того, что событие А наступит в испытаниях с определенными т номерами, а в остальных не наступит равна pmqn~m. По теореме сложения искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов раз-
74
Гл. 2. Схема Бернулли
мещения т появлений события А и п - т непоявлений среди п испытаний. Число таких способов известно из теории сочетаний, оно равно и!
С™ = ------------- и, следовательно,
т\(п — т)\
1*п(т) = C™pmqn~m (т = 0, 1,2,... ,п). (1)
Полученная формула носит наименование формулы Бернулли. Легко заметить, что вероятность Р„(т) равна коэффициенту при хт в разложении бинома (q + рх)п по степеням лс. В силу этого свойства совокупность вероятностейРп(т) называют биномиальным законом распределения вероятностей.
Лишь немного изменив проведенные рассуждения легко обобщить полученный результат. А именно, если в каждом испытании может произойти одно и только одно из к событий Alt А2,. . ., Ак, испытания независимы и в каждом из них событие Ак происходит с вероятностью рк, то вероятность того, что в и независимых испытаниях появятся тi событий Ai,m2 событий А2, ¦ ¦ ¦ ,тк событий Ак, равна
П ^
n / \ т, mfc /Л,.
Pn(mi> т2......тк)= ------------------- Pi лр2-...рк . (1 )
т1 \тг! .. . тк\
Легко также убедиться в том, что эта вероятность является коэффициент
т . т т ъ-
том при хх х2 ... хк в разложении полинома уР\Хх + Ргхг + • • •
. . . + ркхк)п по степеням х1,х2,.. ¦ , хк. Естественно, что вероятности (1') называются полиномиальным распределением. Полиномиальные распределения находят применения в естествознании, экономических задачах, инженерном деле.
