Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
диагонализуют ковариационный оператор, слабая сходимость при увеличении
числа мод очевидна. Следовательно, достаточно рассмотреть фиксированное
конечное значение у.ь
Применяя неравенство Шварца последовательно в каждом множителе мы видим,
что неравенство (Ю.6.9) достаточно доказать для отдельного множителя.
Поэтому достаточно рассмотреть одну моду, т. е. обычную меру Винера на
траекториях в R. В § 7.8 было показано, что локальное бесконечное
возмущение массы в ковариационном операторе порождает граничные условия
Дирихле. Этот вывод применим к каждой ортогональной моде, т. е. к
ковариационным операторам, являющимся функциями только от t. Такие
ковариации Дирихле С(*> определяют гауссову меру в пространстве
траекторий k-то осциллятора, причем масса осциллятора зависит от t.
Рассмотрим аппроксимирующие операторы С*,;' где у.г характеризует массу,
зависящую от t. При ->- оо масса становится бесконечной в точках, где
локализованы граничные условия Дирихле (например, в точках t = ±7"), и
*=> сходится к ковариации Дирихле.
Из результатов § 9.3 вытекает, что возмущение массы в ковариации С^'
можно представить с помощью экспоненциального множителя Фейнмана - Каца в
гауссовой мере, определяемой оператором Показатель экспоненты за-
висит от времени и имеет вид V(qk,t) =0 или K2q\, причем выбор между
этими двумя значениями делается в зависимости от t. Таким способом мы
получаем явную последовательность размазанных б-функций в каждая из
них определяет гауссову меру и ковариации этих мер сходятся к ковариации
Дирихле С{к), отвечающей ft-му осциллятору.
Из оценок, с помощью которых доказывается непрерывность по Гёльдеру
типичной винеровской траектории, следует, что бИз->б при хг-^оо.
Следовательно, полагая в формуле (Ю.6.19) q = q' = 0, представим
выражение (Ю.6.22) в виде (Ю.6.24).
В случае, когда Л и В - ограниченные непрерывные цилиндрические функции,
сходимость интегралов в (Ю.6.9) следует из сходимости ковариаций при
к2 -*¦ CU. |
В качестве следствия доказанной теорёмы сформулируем оценку для случая
меры с граничными условиями Дирихле на дА (но
236 Гл. II. Поля без обрезания
не на бесконечных прямых х = О, L, как было выше). Мы будем считать, что
А, В локализованы в A_, Л+.
Следствие 10.6.3. Пусть А есть прямоугольник Ly(T, как и в предыдущей
теореме. Пусть С в *= Сд\ есть ковариационный оператор с граничными
условиями Дирихле на дА, и пусть А е<?(Л_), А+). Тогда
(А, В}^ < const фА, Л)^_ 0В, В)"+ ехр (^- + ^-) , (10.6.26)
где константа не зависит от L, Т± ^ 1.
Доказательство. Так как А, В, V локализованы в Л (т. е. являются
элементами & (Л)), а мера ^^факторизуется в & (А) (r) 8 (R2\А), то (А, В)^
- (А, В)-. ^
где мера jl получается заменой СаЛна ковариационный оператор С,
рассмотренный в теореме 10.6.2. Аналогично, при вычислении средних на
пространствах ё?(Л±и9Л±) можно заменить |л± на jl±. Далее применяем
доказанную теорему, используя меры Д, Д±. Щ
Глава 11
Поля без обрезания
11.1 Введение
В этой главе приводится конструкция квантового подя Р • г в случае, когда
полуограниченный полином взаимодействия Р имеет вид Р = четный
полином+линейный член. Для полуограни-ченных Р общего вида используются
иные методы, см. гл. 18. В этой главе рассмотрена проблема существования
полей, а вопрос об их регулярности отнесен к гл. 12. Доказано
существование евклидовой меры d\i, являющейся пределом мер в конечных
объемах, построенных в гл. 8, при переходе к бесконечному объему.
Доказательство основано на монотонной сходимости и равномерных оценках
сверху.
11.2 Монотонная сходимость
Все результаты в этом параграфе связаны с монотонной сходимостью. В
случае, когда Р = четный полином + линейный член, монотонность функций
Швингера вытекает из корреляционных неравенств. В § 11.3 доказывается
равномерная оценка сверху. При этом используются оценки для мер в
конечном объеме, полученные в гл. 8, и оценки по методу многократных
отражений, доказанные в гл. 10.
11.2 Монотонная сходимость 237
Пусть л есть Р(ф) 2-мера в конечном объеме с граничными условиями Дирихле
на <ЗЛ:
rf(lA = Z-1e-^<A)rf?CeA. (11.2.1)
Здесь Сдл = (-Л<эл + ^2)-1. а Дал-оператор Лапласа в R2 с граничными
условиями Дирихле на дА. Далее,
У (Л) =5 :Р(ф)):Сфйх, л
где Р(|)- ограниченный снизу полином, а упорядочение Вика производится по
отношению к свободному ковариационному оператору С0 = (-Д + m2)-1.
Нормирующий множитель определяется соотношением
Z==Z(A)=Je-^A^c . (11.2.3)
Наконец, положим
(И-2-4)
Теорема 11.2.1 (существование). Пусть Р = четный полином + + линейный
член и f <= Со°. Тогда существует предел
5{/}= lim 5Л {/} (11.2.5)
л t R2
и предельный функционал 5{/} удовлетворяет евклидовым аксиомам OS 0 и OS
2-3 из § 6.1.
Доказательство. Предположим, что предел (11.2.5) существует. Мера
облагает свойством положительности при отражениях OS 3, если отражение 0
таково, что 0Л = Л (теорема 10.4.2). Так как свойство положительности
сохраняется при переходе к пределу, то предельный функционал S{f} тоже
