Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
его непосредственно с помощью викова упорядочения в бесконечном объеме.
Благодаря этому обстоятельству мы сможем обосновать перестановку
предельных переходов (|Л|->оо и виково упорядочение) и выведем формулу
интегрирования по частям для бесконечного объема. В конце главы мы
рассмотрим некоторые применения этих результатов, а также
12.2 Интегрирование по частям 243
завершим доказательство евклидовой аксиомы OS 1 и затем проверим условия
теоремы реконструкции 6.1.5. Характеристический функционал
S{f}= $e'<H"d|i(<p)
рассматривается для случая ограниченного снизу полинома вида Р(|) =
четный полином -f- линейный член.
Теорема 12.1.1 (Выполнение аксиом). Характеристический функционал S{f}
существует (теорема 11.2.1) и удовлетворяет евклидовым аксиомам OS 0-3 из
§ 6.1. Следовательно, он порождает квантовое поле, удовлетворяющее
аксиомам Вайтмана W 1-3.
Доказательство. Эта теорема - прямое следствие теорем 11.2.1 и 12.5.1. |
12.2 Интегрирование по частям
Так как всякая формула интегрирования по частям (например,
(12.1.1)) содержит производные и виковы полиномы :Р'(ср(х)):, мы начнем с
введения подходящего класса дифференцируемых функций Л(ф) на евклидовом
пространстве & = L2{3)', d\x). Построения гл. 11 приводят к полю ф(f) и
произведениям вида А (ф) - ф (/i) Ф(М. н0 не определяют викову степень
:ф':.
Сейчас мы покажем, что в случае бесконечного объема виковы степени
получаются как пределы обрезанных степеней:
:ф(х)/:= lim :фи(х)/:. (12.2.1)
X ->00
Здесь фи = бя * ф, а би, как и раньше, обозначает размазанную дельта-
функцию 6Х (х) - я2Н(ях) е С°°, f hdx - 1. Кроме того, мы покажем, что
предельный переход х-^-оо будет равномерным по всем объемам Лег R2 и,
следовательно, предельные переходы л f R2 и % -оо можно переставлять.
Итак, :ф/; - это функция от поля ф, определенная на евклидовом
пространстве <§f и удовлетворяющая соотношениям
:m': = lim lim : <р?:Л= Hm Нт:<р[:л. (12.2.2)
ЛДЯ!И->=о * *->.*> Л Д Л3 Л
Оценки, необходимые для доказательства соотношений (12.2.2), носят
технический характер и требуют обобщения неравенств § 8.6 на класс
нелокальных возмущений. Однако с помощью этих оценок можно обобщить
результаты гл. 11 на случай мономов Вика произвольной степени. В
частности, мы определим обобщенные функции Швингера
^Ф^) ... (ffclVfei): ... :<p 2(yt): ... :<pe-4zi): ... :<pB-1 (zm): d\i
и выведем оценки, устанавливающие их регулярность. Произвольные виковы
степени : фг:, п < г, после применения формулы инте-
244 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
грнрования по частям сводятся к этим обобщенным функциям Швингера.
В следующей теореме рассматриваются коэффициенты g =
- {gu S2, • ••> &"-i}> принадлежащие классу С". Это коэффи-
п- !
циенты при более низких степенях в полиноме 6Р = Yj V(g/):-
/=i
Здесь n = degP. Мы полагаем '.(р1: = :ф/:с, где ковариационный оператор С
принадлежит множеству Фт, введенному в гл. 7.
Теорема 12.2.1. Пусть Р - четный полином + линейный член. Тогда
характеристический функционал
S {g} = lim, \ ехР^' ? (12.2.3)
существует и определяет виковы степени :фотносительно меры d\i.
Предельные переходы по -к и А перестановочны, так что :ф/; = Jim в
пространстве Ьг(йц) и :q>!: является функцией
К -> 00
от поля ф. Более того, S{g}-целая аналитическая функция от g\, ..., gn-1.
Доказательство. См. § 12.4. В
Теорема 12.2.2. Существует такая константа с < оо, что для произвольной
функции g^L\[\Lp с носителем supp g с= Л с= R2 и р - п/(п - /)
справедливо неравенство
| Jexp(V(g):)^A|<exp{c(||g-||Li + [| Я П^р)} • (12.2.4)
В § 12.5 рассмотрен частный случай этой теоремы (теорема 12.5.1) при /=1
и вкратце указан способ модификации этого доказательства применительно к
общему случаю.
Пусть §1 обозначает алгебру функций A = A(q>), порожденную виковыми
степенями : ф' (gj): и экспонентами от них. Как и в гл. 7, пусть С0 - (-
A-j-m2)-1.
Следствие 12.2.3. Для любого элемента ЛеЯ справедливы формулы
интегрирования по частям (9.1.32) и (12.1.1). Именно, для произвольной
функции / е Со°
$Ф(/)Л(ф)^=5((с0/, -^-)-Л(ф)(с0/, (12.2.5)
Доказательство. Для ограниченной области Л формула интегрирования по
частям, в которой вместо свободной ковариации С0 рассматривалась
ковариация СдА, была установлена в § 9.1. Подставим в эту формулу вместо
f функцию ?(9л/ = Тогда в обеих частях равенства окажутся основные
функции с
компактными носителями, не зависящие от области Л. По теореме 12.2.1 обе
12.2 Интегрирование по частям 245
части равенств сходятся к соответствующим выражениям для А = R2. Тем
самым тождество доказано для произвольной функции f е C^'Cjj0. По теореме
12.2.2 и интегральной теореме Коши это тождество продолжается по
непрерывности на любую функцию / е L) П Ь"цп-п- |
Замечание. Тождество (12.2.5) можно распространить и на дельта-функции /
- 8х при условии, что каждое слагаемое в правой части продолжается по
непрерывности. В этом случае поле cp(.t) в левой части (12.2.5) следует
рассматривать как билинейную форму; оно не является ни оператором, ни
