Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2(27', 21 + /) у-2-/о ( Z{2T + 214,2L) у-/оО-2-/>) /io,os
~) Д 7 /от I i пт I 1\ ) ¦ (12.4.3)
\ Z (2Т + t, 2L + I) ) \ Z (2Т + t, 2L + I) J
Второй сомножитель в произведении (12.4.3) оценивается при помощи
дополнительных несимметричных отражений относительно горизонтальной оси.
В самом деле, в силу предыдущих рассуждений и неравенства (10.6.8),
Z{2T + 2ht, 2L)<e0(7')Z(27' + 2/7, 21 - /)'/2 Z (2Г + 2/о/, 2L + /)'/2.
(12.4.4)
12.4 Равномерность относительно объема 251
Применив это неравенство jt раз, мажорируем второй сомножитель в
произведении (12.4.3) выражением
onKn(z(2T + 2h, 2А - (2^ - 1)г)Л2~/0('-2~/')2-/.
6 V Z (2Т + t, 2L +1) ) Л
(27"+ 2Ч 2L + /)\2~ Ml-2~/') (l-2~/i)
ч Vz(27 + 24 2L + /)\2 Х V Z (27- + t, 2L + /) j
Снова пользуясь двусторонней оценкой (10.3.8), установим, что последнее
выражение не превосходит
0<m)fZ(27- + 24 2L + /)\2~/0 0~2~jl)a
V Z{2T + t, 2L + l) J • (ил.Ъ)
Оставшаяся часть доказательства посвящена асимптотическому анализу
функции Z(t, I) при фиксированном I и оо. Воспользуемся конструкцией гл.
6 и рассмотренным в гл. 11 предельным переходом к бесконечному объему
применительно к прямоугольнику t X I при фиксированном I и /-*¦ оо.
Получим га-
мильтониаи Hi и полугруппу е \ ассоциированные с интервалом длины I и
граничными условиями Дирихле. В силу выбора вектора -ф/, имеем
Z (t, I) = е = ij е~и dpt (Я),
где dpi - спектральная мера, определенная гамильтонианом Hi и вектором
т}>;. Пусть Ei = inf supp dpi. Тогда
Z(t, I) - О (e *?/) при /-> oo. (12.4.6)
В силу нормировки, введенной в гл. 6, Н ^ 0, и поэтому ?/
^ 0. В частно-
сти, выражение (12.4 5) ограничено сверху величной
е°( I к 1 > ехр [- (2Л - 1) tE2L+l2~'" (l - 2~h) (l - 2"/l)]. (12.4.7)
Для того чтобы получить оценку первого множителя в произведении (12.4.3),
воспользуемся спектральной теоремой. Она дает следующее усиление
соотношения (12.4.6):
Z(2TT+tM+l) <2eW2L + l "Р" <12'4'8>
где I, t и L фиксированы. При этом T(2L + I) выбрано так, чтобы
при минималь-
ном Т имело место неравенство (12.4.8). Заметим, что, вообще говоря,
произведение 7"(2L + /) могло бы зависеть и от t, но спектральная теорема
исключает такую возможность. Итак,
ехр [- const N' (g)]
J В dnA|<e0(l*l>exp[/?2L + ,(l-2-'v)]x
X ехр [- tE2L+l(\ - 2 J°) (l - 2 ;i)2]<e0<IKnexp[/?2L+/(o(2 Л))].
Однако, в силу двусторонней оценки (10.3.8), | E2l+1 I ^ ^ ^ + 0^0 (2^'0,
поэтому
ехр [- const N' (g)] | ij В йцЛ|<е0(1К1)е0(")=.е0(1К>>.
Этим доказано первое неравенство теоремы. Второе доказывается аналогично,
с той лишь разницей, что вместо первого неравенства предложения 12.3.2
следует воспользоваться вторым.
252 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
Доказательство теоремы 12.2.1. По теореме 11.2.1 функции Швиигера для
взаимодействия .-ф?: сходятся и в пределе определяют в пространстве
Lz(dn) поле :ф?-'-По теореме 12.4.1 и интегральной формуле Коши (как и в
доказательстве следствия 12.2.4) эти функции Швингера допускают оценки,
из которых следует суммируемость экспоненты. Соответствующие оценки
равномерны относительно Л и, следовательно, верны для Л = R2. Поэтому при
и < оо интеграл
^ ехр (: ф? (gj)'-) d\i v сходится. В силу равномерных оценок теоремы
12.4.1 и
стандартных Зе-рассуждений, сходится также интеграл ^ ехр (:ф^ (^):) йцЛ.
Аналогично доказываются и остальные неравенства. |
Сформулируем теперь теорему об оценках по методу отражений, которые
являются для нас основным средством исследования.
Теорема 12.4.2. Предположим, что Л - прямоугольник Ly^T, мера d\xx
определена формулами (11.2.1-3) и при некоторой постоянной а выполнена
равномерная оценка
ехр (-а | Л | X Z (Л)< ехр (а | Л |). (12.4.9)
Пусть В - функция поля ф, локализованная в прямоугольнике К с: Л, причем
К и А имеют параллельные стороны и длины сторон прямоугольника К отделены
от нуля. Пусть функция В(п) есть результат п отражений функции В,
локализованный, как и выше, в множестве К(п) с: А(п). Тогда для
достаточно большого Т (т. е. Т Т0 = T0(L, Р, пг)) справедливо неравенство
| J B^d\iA[n))2~n, (12.4.10)
причем константа зависит только от постоянной а.
Доказательство. Следуем доказательству теоремы 12.4.1, но вместо
неравенства
(10.3.8) используем (12.4.9).
12.5 Регулярность поля P{y)z
В этом параграфе мы займемся изучением модели Р(ф)2, где Р = четный
полином + линейный член. Здесь мы закончим проверку для нее аксиом OS 0-
3, приведенных в гл. 6, доказав свойство регулярности OS 1. Для этого мы
сначала избавимся от |/(| в неравенстве (11.3.1). После этого
существование теории поля Р(ф)2, удовлетворяющей аксиомам Вайтмана и
Хаага - Кастлера, следует из теоремы реконструкции, изложенной в гл. 6,
19. Свойство регулярности, которое нам нужно, заключено в следующей
теореме.
Теорема 12.5.1. Пусть Р = четный полином -f- линейный член.
Тогда существует такая постоянная с <_ оо, что для всех f <= С"
S {- //} = ^ ехр (ф {f)) djx < ехр \с (|| f ||it +\\f |? J} . (12.5.1)
12.5 Регулярность поля Р(ф)2 253
