Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Т+, где m - масса в Св. Тогда
1 <det(C_2C+Cj1/2 < const econsti/r~ (10.6.17)
и константы не зависят от L, Т±.
Доказательство. Оценка снизу следует из (10.6.9) при А = В = 1. Для
доказательства неравенства (10.6.9) и оценки сверху вычислим отношение
определителей. Пусть Но обозначает гамильтониан в гильбертовом
пространстве 5^0, отвечающий мере <*Фс0. В гл. 6 указан канонический
способ построения гамильтониана #о, использующий 9-отражения относительно
гиперплоскости П(? = 0). Так как мера dcpCo гауссова, то Ж0 является
пространством Фока и есть гамильтониан свободного поля в 3^0- Таким
образом, есть симметрическая тензорная алгебра над одночастичным
пространством
La ([0, L], dx) (r) L% ((-оо, 0], dx) (c) L2 ( [L, 00), dx).
Следовательно, 3^0 - тензорное произведение пространств Фока, отвечающих
этим трем подпространствам. В определитель вносит вклад только первое из
них. Поскольку е~itH" сохраняет структуру тензорного произведения, можно
ограничиться рассмотрением множителя 3^о([0, L]), являющегося
симметрической тензорной алгеброй над L2([0, L], dx). Обозначим h0
ограничение Н0 на это одночастичное пространство. Собственные числа
оператора ho равны (й2 + m2)i/2 = |х(&), где (n/L)Z, а соответствующие
собственные функции имеют вид sin kx.
В шредингеровом представлении Жц можно записать в виде бесконечного
тензорного произведения
Ж0= (r) L2{R,dvk{qk))= (r) *#>. (10.6.18)
fee (яIL)Z /Mn/I)Z
Здесь dvk (q= (jx (k)/n)^2 exp ( - q%jx (6)) dqk, а есть пространство
состояний гармонического осциллятора с координатой qk (см. § 1.5, 6.2
и 6.4). Оператор е~ tH также факторизуется: е *Нз = е~ tH°
. Здесь Н^ есть гамильто-
k
- tH<ki
ниан k-ro гармонического осциллятора, и ядро оператора е 0 определяется
по формуле Мелера (1.5.26):
•" 'н[к\ч'ч'и) - рРЧ** 0=^,/20 2(1(fe)')-1/2x
w f f2 rn pW(rmtqh-q'kY\-
X exp - yqk - qk ) - -( _ - МШ---------)• (10.6.19)
*) He следует путать В в неравенстве (10.6.8) и В - граничные условия в
Данной формулировке. - Прим. перев.
234 Гл. 10. Оценка, не зависящие от размерности
Для состояния разложенного в произведение ф = п fk (<7&). выполнено ра-
к
венство
<1>. e" = П (fh> е~ jJk) • (10.6.20)
ft
С целью сделать изложение более прозрачным мы проводим вначале фор-
мальные вычисления, а их математическое обоснование рассматривается
только в конце доказательства. Используя формулу Фейнмана - Каца в
пространстве Ж о, получаем
ZC~ \e~Vcdy e~TH°^) . (10.6.21)
J (-> ' Cr&f)
Здесь Vc = Vi + ^2, где Vc = ДСа - - локальное выражение с носителем
на
Г U {* - 0, L) = Г( U Гг, Г1, Г2 определяются из условий FiD П+ = Fi, Гг
П П_ = = Г2, а К], К2 совпадают с Vc в L2(Yl±). Тогда ф есть состояние е-
17' в гильбертовом пространстве 54?0, отвечающем моменту времени / =
Т+, или состояние
в пространстве, отвечающем t = -Г_. Как мы увидим ниже, t|j есть
про-
изведение состояний по различным модам, пропорциональных 6-функции по
каждой моде, ф = Д сЬ (<7 {к)). (Состоянию ф соответствуют граничные
условия к
Дирихле по каждой моде.) Таким образом, в отношении ZC^ZC jZq нормирующие
множители (Д с) сокращаются: к
ZC+ZC_ Ue-2T+%)(^, е'2Т-%)
Z\ <Ч>, е _ nu^f
ТТ (а'ехр ( ~ 2г+ б) ^б'ехр ( ~ 2Т-нок~]) б) _
к,к+,к. (б, ехр( - ТН{0к))бУ
= det (С-2С+С_)1/2. (10.6.22)
В этом произведении импульсы k, k± пробегают одну и ту же
решетку:
k, k+, /z_s (n/L)Z. (10,6.23)
При помощи (10.6.19) можно представить (10.6.22) в виде
, _2 , Л/2 -р-р 1_ е-2n(fe) Г
det (C-C+Cj = П± ^ _ е-ЧЧ т+у/2 ^ _ е-щк.} т.у/2 • (Ю.6.24)
Для фиксированных 7"+, Т-, L каждое из произведений по k, k+
и k- сходится,
так как при > 0 любое выражение вида е~а^к^ сходится к нулю экспо-
ненциально.
Поскольку числитель в (10.6.24) меньше 1 и по условиям теоремы Г_ sg; Т+,
имеем оценку
det (?Г2С+С_)1/2< Д (1 =
к
= ехр ? ln(l(10.6.25) к
10.6 Несимметричные отражения 235
Ковариация CjS?" имеет массу не меньше т, поэтому m |л(&). Следовательно,
4 <С 4|л(?)Г_, так как по условиям m~l Г_. Таким образом, показатель
4,и(?)Г_ в (10.6.25) отделен от нуля, а экспонента
е-4ц(й)Г. ^е-4тГ. <е-4< j
отделена от 1. Воспользовавшись неравенством In (1-е)sg: const е, где
0 =?1 6 tgr во <С 1 и константа зависит от 8о, получаем
det (С-2С+С_)1^ ехр (const ^ е~4а -g; const ¦ ехр О (L/T-).
к
Для обоснования этих формальных рассуждений вернемся к формуле (10.6.21).
Найдем теперь регуляризованное Zc, подставив вместо e~v" 2 сглаженное
произведение волновых функций 1]/' = п с6Х2 (q (k)). Заметим, что для
доказа-
I к | < и,
тельства неравенства (Ю.6.9) достаточно выбирать величины А, В из каких-
нибудь плотных подпространств н пространствах S±. Пусть А, В- непрерывные
ограниченные функции от конечного числа ортогональных мод, зависящие от
конечного числа моментов времени (цилиндрические функции). Для таких А, В
сходимость гауссова интеграла при xi -*¦ со следует из сходимости
характеристического функционала и, следовательно, из слабой сходимости
ковариационных операторов как /^-операторов. Так как ортогональные моды
