Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет аксиоме OS 3.
Евклидова инвариантность также следует из существования предела (11.2.5).
Пусть Е - произвольное евклидово преобразование. По предположению SA {/}
и ^ял Ш °(r)а имеют предел при Л f R2 и эти пределы совпадают. Так как
SEA{f} = SA{Ef], то и S{f} =S{Ef}.
Итак, доказательство положительности при отражениях и евклидовой
инвариантности сводится к доказательству существования предела (11.2.5).
Основная оценка сверху дается теоремой 11.3.1 ниже. В предположении, что
эта оценка установлена, докажем (11.2.5).
Не теряя общности, можно считать, что коэффициент в линейном члене у Р
отрицателен. В противном случае заменим ф на - <р. Выберем теперь g е С",
8^0. По теореме 10.2.2 функционал {-;'g} положителен и монотонно
возрастает при увеличении Л. Кроме того, имеется равномерная оценка
теоремы 11.3.1, поэтому предел S{-ig} существует.
Рассмотрим теперь множество {g/}, / = 1, 2, ..., п, состоящее из п
неотрицательных функций класса С", и п комплексных чисел г,. Положим zg
зз ш Zigi + • • • + Zngn- Характеристический функционал в конечном объеме
SA {zg) является целой функцией на Сп. По теореме 11.3.1 она
удовлетворяет оценке.
238 Гл. 11. Поля без обрезания
равномерной по Л (но не по п):
I SA lzS) I < П ехР {с (I К I + II nzi8i Ц }• (11-2-6)
Следовательно, по теореме Витали, при Л f R2
SA{zg} S{zg), (11.2.7)
причем сходимость равномерна па любом компактном множестве точек г, и
предельный функционал является целой функцией. В частности, при g ^ 0
сходятся также функции Швингера:
jj Ф(?,) ¦ Ф(?") jj Ф(^) • ¦ • Ф(?") (11.2.8)
Оценка (11.2.6) и сходимость (11.2.7) продолжаются по непрерывности на
случай функций gi е Li П Lp с компактным носителем. Пусть теперь f, е С".
Положим
^ (Л;) = /±^(Л:) при 1 ± (.0 в остальных случаях,
так что /; = fj+ - fj- и fj± ^ 0. Функции fi±, вообще говоря, не
содержатся в С", но принадлежат классу Lt (1 Lp. Поэтому сходимость
(11.2.8) имеет место, если gj заменить на fi±. После конечного
суммирования получаем
5 Ф (f:) • • ¦ Ф (/") 5 ф (М • • • ф (/") о 1-2.9)
Отсюда следует, что при е С", г? е С
п 1-2.10)
и предел (11.2.10) является целой функцией от (zi, .. ., z")^Cn.
Следовательно, S{/} -целая функция на С". Таким образом, теорема доказана
в предположении, что верна теорема 11.3.1. |
11.3 Оценки сверху
Теперь мы докажем основную оценку, использованную при доказательстве
существования предельной меры.
Теорема 11.3.1. Пусть т> 0 и определяется формулой
(11.2.1). Пусть Р(1) - ограниченный снизу полином степени п, имеющий вид
Р(|)= четный полином + линейный член. Пусть р = п/(п- 1), и пусть функция
fe.L\(\Lp имеет носитель внутри прямоугольника К площади |К|. Тогда
существует такая константа с < оо, не зависящая от А, что
jj е^Н\х,А | < ехр | с (| К \ +1| / |Q}- (11.3.1)
Замечание. В гл. 12 мы исключим К из оценки (11.3.1), как это
требуется аксиомой OS 1.
11.3 Оценки сверху 239
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что / ^ 0.
Действительно, в силу положительности функций Швингера (теорема 10.2.2),
| § |
^ (j еФ( I f I) Из теоремы 10.2.2 следует также, что при / 0
(e^\ = SA{-if} (11.3.2)
монотонно возрастает с увеличением А.
Л11)
-*2ах
jW
(С)
->1 Лш ах XI
¦Ъ)
(2"-2)ах -
ил*
кш
(d)
>е)
Рис. 11.1. Прямоугольники К, Л, используемые при доказательстве оценок по
методу многократных отражений: (а) исходная картина; (Ь) после увеличения
Л до Л1; (с) после одного отражения относительно каждой из осей: (d)
после увеличения Л до Л(2); (е) после п отражений и увеличений объема
(масштаб изменен).
Теперь мы начнем последовательно применять преобразования, при которых
происходят увеличение объема и отражения. Пусть К с Л - прямоугольник,
содержащий supp/, и пусть Л(1)^>Л - другой прямоугольник с центром в
одной из вершин К и осями, параллельными осям К (рис. 11.1(b)). Будем
считать, что
240 Гл. ff. Поля без обрезания
стороны К параллельны осям х и у. Обозначим {ах, av] длины сторон К и
{&**> Длины сторон Л<". Выполним отражения относительно осей прямо-
угольника Л(1>. Поскольку Л<'> инвариантен относительно этих отражений,
можно воспользоваться положительностью при отражениях меры d^A(i) и
получить
оценку сверху. Положим
/(1) - /+0П j+\?+ЧЧ;=(> + Ч) О + Ч)д
к^ = киеп/иепк ивпвпк.
Легко видеть, что supp /()> с: Пусть R - оператор отражения
(10.6.2).
Тогда R (еф(^) = еф По предложению 10.5.1 и теореме 10.2.2
^фШ^л(1)<($ еф(г(1))^л(1))'/4. (11.3.3)
Отражения относительно осей Л*1' изображены на рис. 11.1(c).
Будем теперь повторять этот процесс. Вначале увеличиваем Л(/), выбирая
Л</+п таК; чтобы прямоугольник К!-1) лежал в первом квадранте А!'+1>.
Затем производим отражение относительно осей Л(/+1> и получаем функцию
/<'+>> с носителем в как на рис. 11.1 (d - е). Этот
процесс увеличений - отражений прекращается после того, как на
п-м шаге будут получены прямоугольники
и А1'1'1, размеры которых имеют одинаковый порядок. Применяя п
