Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(1ц+ и dn_ рассмотреть ненормированные меры d.Д = Zdp., dji± = Z±rfn±.
Кроме
того, множитель e~v =е-^+е_^_можно включить в А и В. После этого
неравенство (10.6.8) сводится к следующему неравенству, которое отвечает
гауссову случаю:
\(A,B)dVcY^det(C-*C+C-yiHQA,A)dyC_(QB,B)dyc+. | (10.6.9)
Доказательство неравенства в гауссовом случае проводится по аналогичному
образцу: задача сводится к рассмотрению гауссовой меры с (c)-инвариантной
ковариацией Со, т. е. к случаю теоремы 10.4.2. Мы приведем вначале
формальные соображения, а позже обсудим детали в некоторых частных
случаях, а именно при доказательстве теоремы 10.6.2 и следствия 10.6.3.
Эти частные случаи понадобятся нам в гл. 12.
Неравенство (10.6.9) легче понять, если переписать определитель в виде
отношения статистических сумм:
det (С_2С+С_)1/2 = Zc+Zc_/Zc. (10.6.10)
При этом удобно представлять себе множитель Zc+/Zc как
нормировку гауссовой меры d<pc по отношению к мере dq>c¦
Однако обе эти меры вероятностные, поэтому последнему утверждению
необходимо придать более точный смысл. Для этого представим меры dcpc и
Лрс± как возмущения некоторой гауссовой
меры dфСо. Определим интегральные операторы v и v±, полагая v=C~l -С(Г1,
u+=C;'-Со-1, V- - CZ1 - Со"1. (10.6.11)
IO.fi Несимметричные отражения 231
Эти операторы имеют ядра и(х,у), v±(x,y). Определим также Vc формулой
l/c = 4'$ 4>{x)v{x,y)q>{y)dxdy (10.6.12)
и аналогично определим Vc±- Используя (9.3.8), можно формально выразить
dq>c через dq>c0'
d(fC = Z~'e~Vcd(pCo, (10.6.13)
где Zc = ^ e~VcdcpC0' (10.6.14)
Подставив v± вместо v, получим аналогичные представления для йфс±. По
формуле (9.3.7) для гауссовых функциональных инте-
/ 1/2 1 /2\^ /2
гралов Zc = det(/ + Co vC0 ) ¦ Поэтому отношение Zc+jZc -
= det (С-1С+)1/2 не зависит от С0. Таким же способом можно получить
формулу (10.6.10). В этих вычислениях можно было бы взять в качестве С о
оператор С. Тогда Zc - 1. Однако удобнее выбрать оператор Со
положительным при отражении 0. Тогда неравенство (10.6.9) будет следовать
из положительности меры dcpCo при отражении 0 (теорема 10.4.2). Для
доказательства
(10.6.9) воспользуемся неравенством Шварца относительно скалярного
произведения, порожденного мерой d(pc. А именно, пусть А е (5- , Тогда
I (A, B)d<fcJ2^(QA,A)d<fc^QB, B)d(рСо. (10.6.15)
Перепишем (10.6.15) в виде | (Л, B)dФс |2 = Z~21 <.ABe~Vc) dVj <
< Zc2 <(0Л) Л exр ( - Vc ) V <(05) В exp ( - Vc+)Ur =
- Co ' Co
= Zc+Zc_Zc2(9A, A)dq>c_ (OS, B)dq>c^ -
= det(C-2C+C_)1/2(0^> A)dVc_ (OS, B)d^c+. (10.6.16)
Таким образом, требуемое неравенство получено. При этом мы
воспользовались разложением v = v\ + v2, где v\ и v2 локализованы в П_ и
П+ соответственно и определены соотношениями U_ = Vi + 0U10-1, V+ - V2 +
0O20_1-
Строгое обоснование приведенных выше формальных рассуждений затруднено
тем, что гауссовы меры ЛрСв с различными
граничными условиями В взаимно сингулярны. Поэтому операторы v, v± также
сингулярны, а статистические суммы Zc+, Zc , Zc не существуют. Для
преодоления этих трудностей можно ре-
232 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
гуляризовать величины (10.6.11 - 12) и перейти к пределу в
(10.6.16). При этом статистические суммы Zc, Zc+, Zc_ расходятся, однако
их отношение, равное det(02C+C_)1/2, сходится, и средние (• )<*Фс, ( •
)йфс± корректно определены.
Неравенством (10.6.8) можно реально воспользоваться только после того,
как будут получены оценки Z+Z_/Z2 и det(C~2C+C_)1/2
2 Т_ _______
- s-1 л_; л+ ( i г-
. ...v я . _ . . - : -
Т- Т+
11 (плоскость 1-С )
(а) 1
2Т-г
-
Л_ ел_ xL
1 j
0Л +
-т. т_
П(плоскость t = Ol (Ъ),
т..
П (плоскость t = 0)
(с)
Рис. 10.4. (а) Функция V, определяющая меру djx, имеет носитель в Лг =Л+
(JЛ_, где ПсЛ+ПЛ- Сплошные линии изображают Г, состоящее из дА и прямых,
продолжающих две стороны дА. Пунктирная линия изображает плоскость П (в
качестве П выбирается плоскость i = 0). (b, с) Второй и третий рисунки
отвечают мерам rf(x+, определяемым ковариационными операторами Св± с
граничными условиями Дирихле на сплошных линиях Г±.
в зависимости от объема Л. В этом параграфе мы исследуем отношение
функциональных определителей det(C~2C+C_)1/2, а оценку отношения Z+Z-/Z2
отложим до § 12.4. Для простоты мы ограничимся рассмотрением частного
случая, когда на Гэ дА заданы граничные условия Дирихле.
Ниже мы рассматриваем случай d = 2 и предполагаем, что А есть
прямоугольник Ly^T, ориентированный вдоль осей (х, t) (рис. 10.4). Пусть
П - гиперплоскость t = 0. Предположим, что П делит Л на два
прямоугольника Л_1)Л+ - Л размера LX.T-. и LX 7+ соответственно. Тогда 71
= Т_-\- Т+. Пусть ось х выбрана
10.6 Несимметричные отражения 233
/
так, что прямые х = О, х = L проходят через Л^Положим
Го = {(х, t): х = 0 или л; = Z,}, Г == дА U Г0,
С0 = (-Дг" + т2Г1, Св = (-Дг + т2)-1.
Теорема 10.6.2. При указанных выше условия^ на В справедливо неравенство
(10.6.8)1). Пусть Г и Св такие же, как выше, и кроме того, m~l I^ 7L ^
