Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функцией.
Предположим, что носитель функции g принадлежит объединению
непересекающихся единичных ячеек Д, т. е. supple: (J А.
\ ез " Г
Положим gA - XAg, где %д - характеристическая функция ячейки Д; при этом,
конечно,
S д-
(12.2.6)
Оценить обобщенные функции Швингера позволяет интегральная теорема Коши.
Следствие 12.2.4. Пусть g удовлетворяет прежним условиям, р = = п/(п -
/), / < п и носитель функции hA) ,¦ содержится в ячейке Д. Тогда
s п [(rivc^, <
Д s#L г = 1 / J
< П Г(яд!),_1/Р(11с1ЛД. ^Р)ехр{с(! +ВйГд|Ср)}
Ае/1
(12.2.7)
Доказательство. Воспользуемся неравенством Шварца, чтобы отделить
многочлены от экспонент и ограничиться таким множеством JC, что для
входящих в него ячеек Д справедливо ф 0. Нужная оценка для интеграла от
экспоненты получается из теоремы 12.2.2. Положив таким образом g = 0, мы
при помощи поляризационного тождества сведем все к случаю одной функции г
для каждой фиксированной ячейки Д. Предполагая, что в этом частном случае
неравенство (12.2.7) доказано, воспользуемся поляризационным тождеством
2""'я! Да,- ? е2... 8п(а1 + е2а2+ ... +eA)n. (12.2.8)
( = 1 ef = ±I
Поскольку неравенство (12.2.7) не меняется при умножении /гд ,• на
константу, можно считать, что все нормы || Лд г ||^ равны между собой. С
помощью тождества (12.2.8) и неравенства треугольника
II Лд, 1 + е2Лд, 2 + • • • Hip < пА II Лд. i \\ь"
246 Г л. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
получим, что левая часть (12.2.7) допускает оценку
пА
): <
Де^1 = 1 ДеЛ5
П СК!) 1/Р"2Л|1Ч ill?-
Наконец, применение формулы Стирлинга завершает доказательство следствия
в предположении, что оно верно в указанном выше частном случае.
Проведем теперь доказательство в этом частном случае. Обозначим е С* Л° '
семейство комплексных переменных, помеченных ячейками Д е Л'.
Положим г/г (х) = ^ гд^д (*)• Тогда левая часть неравенства (12.2.7)
равна д еуГ
л=(Г1С40А) Sехр (:фУ (гЛ):) ^ L <д)-о-
Согласно теореме 12.2.2, S {- izh] = ^ ехр (:фу (zh)\) d\i - целая
аналитическая функция. Поэтому, в силу интегральной формулы Коши,
STT tl 4 ! dz \
S {- izh} ----- (12.2.9)
д-^ (2ш) z
где интегралы берутся по произведению окружностей с центром в точке гд =
О и радиусом Гд. Отсюда, в силу оценки (12.2.4), имеем
'*< П V Г1ПА еХР (С (ГА II hA llLl + ГД II hA IIl ')!• (12-2Л°)
Д е JT <• N р/ j
Выберем теперь радиус гд равным (1/2) "дР|| hA Ц^1. Так как || h s ||Li
^|| Ад |[L
т0 'дИМ/., +/л11ЛлН2р<"д- Применяя неравенство (12.2.10), получаем, что
!•*!< П ("д01-1/р("НАдILP)"A* ¦
12.3 Нелокальные ф^-оценки
В гл. 8 оценки полиномов Вика : ф' : были выведены из слабо сходящихся
при х->-оо оценок для обрезанных полей :ф?: (предло-
жение 8.6.3). Для получения равномерных оценок функций (при и->оо) мы
введем дважды обрезанное по импульсам поле
4W = * V * Ф (12.3.1)
и воспользуемся слабо сходящимися оценками, справедливыми
для этого поля. Двойное импульсное обрезание (12.3.1) вводит
соответствующее виково упорядочение вместе с его константами
х', используемыми ниже. Как указывает название этого пара' графа, поле фх
нелокальное.
12.3 Нелокальные q^-оценки 247 По техническим причинам удобно
предположить, что объеди-
п-1
нение носителей (J supply содержится во внутренности множе-/=1
ства Л = supp f". Далее мы будем пользоваться обозначениями (8.6.4).
Функции gj определяют возмущения полинома Р. Они впервые появляются при
рассмотрении двойного обрезания. Возмущение старшего члена функцией gn
также допустимо в предположении, что норма ||g"||?, достаточно мала.
Положим
П- 1
:Q(qW. г): = Х ] :qwW;:g/ [x)dx. (12.3.2)
/=i
По аналогии с формулой (8.6.5) определим
Предложение 12.3.1. Существует такая константа с, зависящая от т, пи
суммы норм |fn|jL^ + (Д), что
-c\\fn HL] (In x)(deg P)!2 + С (N (/) + N' (g)) < :P (Фи> /): + :Q
(Фх.g):•
(12.3.3)
Доказательство. Поскольку фи / - нелокальная функция фи, требуется
некоторая модификация доказательства предложения 8.6.3. По определению
I
ф* *' (X)J = П \ ф* (yi) V (yi ~~ х) dy' =
1=1
Применение неравенства JJ at < ^ а{, верного для любых at ^ 0, дает ;=1
/=.1
I I
I ч>м"'{x)J I < \ Е | ф* 1П б*1 ~ ау'-
* = 1 /=1
Поскольку ^ бн (у) dy = 1, получаем, что
1
I 4>к. и' W' I < J ? 1 ф* 1 ^ ~х) dVi
и | ^ Фк, и' М' ^ М ^ | < / 51 Фи (*)' I (б*
* I 8j I) W
248 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
Как и в предложении 8.6.3, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что |
^ си, и' (х)1'21 SI (•*) dx < 8 jj фи (х)п fn {х) dx + a (е) с"^, jj fn
{х) dx +
Так как || bw * g \\Lp < || ||Li MLp " MLp. а для ? = )?,[
= ^ ((r)x' * 8)n^n~ ^ fn ^ dx ^ const ^ gnKn-l) dx = const N' (g),
то теперь утверждение следует из неравенства (12.3.4), как и в подобном
месте доказательства предложения 8.6.3. В
Далее, следуя доказательству теоремы 8.6.2, убеждаемся, что справедливо
Предложение 12.3.2. Пусть я < л' < оо " +[|/~I||L (Л)+/?г * +
+ n + |A|^L. Тогда
^ exp(:Q(фх, g):)dy.A^exp(const(N(f) + N'(g) + 1)),
Jexp(:Q(9x, ff)-Q(qv, л<
