Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантность меры d\i, получаем с помощью неравенства Шварца, 4то
| J kdц | = | <1, к)г ] = | (01, ft), | "0/г, k)f = (1, (Qk)tbt)s2 = <01>
№)i h)f.
10.5 Многократные отражения 225
Дальше продолжаем применять неравенство Шварца и трансляционную
инвариантность. После г применений имеем (подставив 2Г = п):
Третья геометрическая конфигурация осуществляется тогда, когда носитель
функции k содержится внутри единичного куба Д (или, в более общем случае,
внутри прямоугольника X =
- [0> а\] X [0, а2]Х ••• Х[0, ad]). Тогда, используя полную группу
решеточных трансляций, можно обобщить рассмотренную выше картину
отражений (10.5.4). Пусть обозначает произведение
(10.5.4), построенное вдоль v-ro координатного направления:
Здесь 0v = 0nv-отражение относительно гиперплоскости xv=0. Заметим, что в
случае единичного куба Д все av = 1, v = 1, 2, ... ..., d. Положим
При d = 2 решетка, порожденная отражениями, изображена на рис. 10.3.
Предложение 10.5.3. Пусть k<^<8(X) и мера d\i удовлетворяет аксиомам OS2-
3 (трансляционная инвариантность и положительность при отражениях). Тогда
Доказательство. Относительно каждого координатного направления применяем
те же соображения, что и при доказательстве предыдущего предложения.
В случае трансляционно-инвариантной меры удобно вместо функции k
рассматривать оператор kst=&, который является оператором умножения на k
в гильбертовом пространстве квантовомеханических состояний Ж. В гл. 6
было определено каноническое вложение функционального пространства $+ в
Ж\
Здесь Jf с: &+ есть нуль-пространство положительной при отражениях
билинейной формы на &+. Это вложение позволяет по некоторым операторам S
на <§?+ отроить с помощью формул
и
п
2-п \k) - JJ (0v?)(2/_ n av k(2j- I)ay.
(10.5.7)
1/(2", ...2nd)
(10.5.8)
| I kd\i | s=: 3! (k).
(10.5.9)
g'+->8'+/jr сеЖ.
226 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
(6.1.12) операторы Sx - 5 на Ж. Например, по теореме 6.1.3
T(t)=T(t)
xz
c-tH
Заметим, что при доказательстве теоре-
мы 6.1.3 мы пользовались оценкой, получаемой с помощью метода
многократных отражений.
Займемся теперь построением по функции i) опера-
тора !г в Ж. Для этого обобщим доказательство теоремы 6.1.3.
Так как ftei2№), то умножение на k задает оператор в пространстве <§+ с
областью определения S'+{]Loo. Для построения k сузим область определения
оператора k. С помощью многократных отражений можно получить оценку нормы
k как оператора в пространстве Ж.
Предложение 10.5.4. Рассмотрим вероятностную меру dpi на ЗУ',
удовлетворяющую аксиомам OS 0, 2, 3 (аналитичность, инвариантность и
положительность при отражениях). Рассмотрим k е & (0, i), t>0, как
оператор умножения в &+ с областью определения 3){k)- Т(t) + [\ Loo).
Тогда
оператор k, задаваемый соотношениями (6.1.12), определен на плотном
множестве в Ж.
Доказательство. Вначале мы покажем, что область определения S)(k)" = =
(T(t) (Loo П S+)) ~ плотна в Ж. Из теоремы 6.1.3 и соотношения Нте~ш = /
t -> о
следует, что Кег e~tH = {0}. Действительно, если e~mQ = 0 при некотором
t, то е-(н/20 _ о и т. д., так что lim e~,HQ = 0 и, следовательно, II 9
|| = 0. Пусть
t -> о
вектор г|; в Ж ортогонален 3)(k)~. Тогда e-tHty _L(?oc П S+) а так как
(L" Л <?'+)А всюду плотно в Ж, то = 0 и по доказанному выше i|) = 0.
Таким образом, S)(k)'' плотно в Ж.
Для того чтобы доказать, что оператор И корректно определен, достаточно
проверить условия (6.1.13), т. е.
Ae2>(k)(]^ => b(kA, kA) = <0Ы, &4>, = 0. (10.5.10)
Рассмотрим вначале случай ограниченных k, т. е. JeL". Пусть А имеет вид Л
= T(t)B, BesS+. Поскольку Q(kT(t)B) = (Qk)T(-t)QB и T(t)* = T(-t),
получаем, что __
b(kA, kA) = (QkT(t)B, kT(t)B)% = фВ, T(t)QkkT(t)B}% =
_ = b (B, ~{Qk)t ktT{2t)B) < b (В, В)1/2 b (С, C)1/2>
где С = (Qk)tktT(2t)B e S+. По предположению A = 0 и A = Отсюда
следует, что В = 0, т. е. В е J?. Таким образом, Ь(В, В) = 0, и равенство
(10.5.10) выполнено.
Рис. 10.3. Многократные отражения в случае полной группы решеточных
трансляции.
10.5 Многократные отражения 227
В общем случае, когда функция k неограничена, рассмотрим вместо нес
функции
, _ Г ft, если | ft | /,
I 1 0, если | ft | > /.
Тогда ||ft - kj\\Lt^dVk) -> 0 при Так как A^S)(k), то A
eT(t)L" с. L^.
В силу доказанного выше, k.;A е Ж, поэтому члены, отвечающие k,A
(включая
перекрестные члены), не дают вклада в следующее неравенство:
Ь (Ы, kA) = b((k- ft,) A, (ft - ft,.) A) < || (ft - kt) A Hi, w <
<ll*-*/lli2Mlliee->0- ¦
Теорема 10.5.5. Пусть d\.i - вероятностная мера на &, удовлетворяющая
аксиомам OS 0, 2, 3 (аналитичность, инвариантность, положительность при
отражениях), и пусть йе^(0, t), t > 0. Тогда
Ue~tH\\xs^M(k). (10.5.11)
Доказательство. Пусть Q = е~ш1г*1ге-ш и A^<g'+f)Loo. Тогда, согласно
неравенству Шварца,
|| Ье~ ША || = {A, QAf2 < ||Л||^2 ||<ЭЛ||1?2.
Продолжаем применять неравенство Шварца; после п применений получаем, что
Не~ iHAW3s^\\A\\l~2~n\\Q^1AS%"1. (10.5.12)
По определению (Ие~'н)*А = (T(t)6kA)~= ((Qk)tT(t)A)'', или е~1ИИ* = =
