Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
упорядочения полинома Р, а затем изучаем сходимость поля ф6 и дискретной
суммы ? в Р.
х s Int л6
Доказательство. Воспользуемся решеточным вариантом формулы изменения
ковариации (9.1.34). В действительности конечномерное представление
(9.G.6) меры d(p6 D позволяет свести формулу (9.1.34) к обычным правилам
вычисления
производных. Так как, согласно предложению 9.5.5, || С || = || D - Сд ||
=
*= О (б2), матричный оператор
С6= /2 (Int Лй) -> /2 (Int Л6)
Сходится с той же скоростью. С помощью неравенства Шварца отделим в инте-
гр але по d<pc(o полиномиальный множитель Q и множитель, отвечающий
экспоненте:
|^Qe 'Рб IQf2 ^фс(о)1/2 * Р<5 ^ d<pc<o)1/2-
Первый множитель в правой части сходится как 0(62), поскольку |] Се || <0
(б2). Для завершения первого этапа доказательства осталось показать, что
экспоненциальный множитель ограничен равномерно по б и t. Равномерная
оценка установлена в следующей лемме, доказательство которой аналогично
доказательству теоремы 8.6.2.
Лемма 9.6.2. Допустим, что d = 2 и 1. Тогда интеграл
J* ^C(t)
е :Pfl'c (t) ^ср ограничен и отделен от нуля равномерно по 6 и t.
Набросок доказательства. Вместо и-1, т. е. обратного ультрафиолетового
обрезания, возьмем 6i ^ б. Имеются две важные оценки. Во-первых, в силу
предложения 9.5.6, полином ограничен снизу величиной 0(ln6i| + 1
)<de*р^2.
9.6 Решеточные аппроксимации мер Р(фЬ 215 Во-вторых, справедлива оценка,
аналогичная теореме 8.5.3:
| ^ ~ :/>б:с(оУ dcpC (*) j ^ /!(degя>/20 (б{е), / - четное число.
(9.6.9)
Множитель О (б{е) связан с оцрнками из предложения 9.5.7. Оценка сверху
доказывается теперь так же, как и в теореме 8.6.2. Оценка снизу вытекает
из
равномерной оценки сверху интеграла ^ :^б:с (Г) d(^c (<)'
Переходя ко второму этапу доказательства сходимости при 5 -0, положим
P{t) - t 'P6^0'Cd + (1 t) :Рб'-С?), dlit = е~р <*> dq>cJ J e~p dфСд.
Предложение 9.6.3. Пусть d - 2 и Q (ф6,) - полином от поля фб,. Тогда при
фиксированном 6' и 8-"-О
| ^ Q (фв') - jj Q (Фу) < 0 (бе)-
Доказательство. Гауссова мера считается теперь определенной на 97Г(R2).
Оцениваемая разность ограничена величиной
sup | ^ Q (q>6,)-jf dpt j. (9.6.10)
Вновь выделяем полиномиальный и экспоненциальный множители. Применяя
неравенство Шварца второй раз, выделяем экспоненциальные множители,
отвечающие соответственно :Я6=0: и :Р6:. Множитель, содержащий ехр
:Р6=0:Сд^
был оценен в § 8.6, и, поскольку он не зависит от б, оценка равномерна по
б. Множитель, отвечающий :Р(,'., ограничен согласно лемме 9.6.2.
Наконец, рассмотрим полиномиальные множители, ограничивающие (9.6.10).
Они содержат гауссов интеграл ^ Q2 (dP (t)jdt)2 dPcD' который стремится к
нулю, как в теореме 8.5.3. В
Объединим два предложения в одну теорему, из которой вытекает сходимость
решеточных мер Р(ф)г к соответствующим непрерывным мерам.
Теорема 9.6.4. Пусть d = 2 и Q(6') - полином от поля фв,. Тогда при
фиксированном 8'
lim \ Q (6') d\i6, d=\q (б') d\iD.
fi-"0 J J
Замечание. Аналогично доказываются соответствующие результаты для
граничных условий В = 0, Р, N.
Глава 10
Оценки, не зависящие от размерности
10.1 Введение
В этой главе мы получим основные оценки, используемые при предельном
переходе к бесконечному объему. Формально эти оценки не зависят от
размерности. Хотя доказательства относятся к случаю Р(ф) 2-мер в конечном
объеме (гл. 8), аналогичные методы применимы и в более общей ситуации.
Например, для решеточных полей на решетке произвольной размерности
оценки, получаемые в этой главе, не зависят от шага решетки. В этом
проявляется существенное отличие от случая ультрафиолетовых оценок гл. 8,
так как последние сильно зависят от размерности пространства. Результаты
§ 12.2, т. е. формулы интегрирования по частям, также справедливы в любой
размерности.
10.2 Корреляционные неравенства для полей Р (ф)2
В этом параграфе мы обобщим на случай полей Р(ф)2 корреляционные
неравенства и теорему Ли - Янга, доказанные в гл. 4 для полей на конечной
решетке. Напомним ограничения на полином Р, налагаемые различными
неравенствами:
неравенства ФКЖ (§ 4.4):
произвольный полуограниченный Р; (10.2.1а)
неравенства Гриффитса (§ 4.1):
Р = четный полином - р,ф, ц ^ 0; (10.2.1Ь)
неравенства Лебовица (§ 4.3) :
Р = Яф4 + аф2 - ц,ф, к > 0, ц^О; (10.2.1с)
теорема Ли - Янга (§ 4.5):
Р = Аф4 + аф2 - рф, к > 0, Rep>0. (10.2.Id)
Корреляционные неравенства (10.2.1а-с) справедливы для любой меры,
являющейся пределом мер (в смысле сходимости моментов), удовлетворяющих
этим неравенствам. Теорема Ли - Янга остается верной, если свободная
энергия
/ = In Z/объем
равномерно ограничена и сходится для ц из комплексной области. В силу
теоремы 9.6.4, решеточные поля, сходящиеся к непрерывному полю в конечном
объеме при граничных условиях Дирихле, удовлетворяют сформулированным
условиям. Анало-гично, решеточные аппроксимации сходятся при граничных
уело-
10.2 Корреляционные неравенства для полей Я(ф)2 217
виях Неймана и при периодических граничных условиях. Таким образом, имеет
