Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
равномерной ограниченности норм следует, что [ ( f0dx | ^ const | А|.
Положим Vi = V- J fdx, так что
S:Vi'.r d ф" =0. Для функции
FB (s) = J exp^-s-K,:^^
имеем FB (0) = 1, f'b (0) = 0, F"B (s) 0. Следовательно, FB (s) ^ 1
и
6XP (_ ^ f°dX) ^ 0Xp (~ ^ dX) F°^ ==ZD^A)-
П
Замечание 1. Пусть :V:Cb == X У (fi)-cB = :P (ф> fY-cB¦ Из приведенного
выше доказательства следует, что
ехр ^ /о dx') ^ ехр (- :Р (ф, /):Cfl) dyCB = ZB (/). (10.3.6)
Замечание 2. Рассмотрим случай, когда оператор С&, опреде-
ляющий виково упорядочение в Р, отличен от ковариационного оператора меры
с/фсв- Пусть Т - преобразование викова переупорядочения, определяемое
равенством :Р(ф, /):сВ' = ^(ф. Tf):c . Обозначим характеристическую
функцию квадрата решетки Д и положим /хд = {/;ЗСд}- Поскольку
преобразование Т локально, ^(/Хд) - (?7)Хд- Как вытекает из доказанного
предложения,
П>0(77хд)<$ехр(-:Р(ф, f)-cB') dq>cB (Г/хд). (10.3.7)
д д
Предположим далее, что Св, СВ' принадлежит классу 'ё'т, определенному в §
7.9, и что
m + (M/m) + п + sup N (f% А + sup М (f%A) < К.
_ д д
Тогда
ехр (- const | Л |)< jj ехр (- :Р (ф, /):Св0 ^Фсв < ехр (const | Л |),
(10.3.8)
причем константы зависят только от К-
220 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Рассмотрим теперь свободную энергию (10.3.1). Пусть В =
- дА, D и В - дА, N - граничные условия Дирихле или Неймана, заданные
на границе прямоугольника Л.
Предложение 10.3,3. Свободные энергии Р (ц>)гМоделей, отвечающих
различным граничным условиям (Дирихле, свободным, Неймана) на границе
прямоугольника А, удовлетворяют неравенствам
адА< °(Л) ^ аР (Л) ^ адА'N{A). (10.3.9)
Кроме того, адА>°(А) и adA'N(A) сходятся при A f R2.
Замечание. В действительности указанные пределы совпадают. Для предельных
свободных энергий aD, a0, aN имеет место равенство а° = а0 = aN [Guerra,
Rosen, Simon, 1976].
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Ai есть объединение я
непе-ресекающихся областей, полученных сдвигом Л. Тогда по неравенству
обусловленности (10.3.2)
zdA' D (Л)" = zdAu D (Л[) < z0 (Л!) < zdAu N (Л!) = zdA' N (Л)"
(ю.з.ю)
Прологарифмировав, получаем
адА- D (А) =адА" ?'(Л1)<а0(Л1)<ааЛь "(Л,)*"^1 N (А). (10.3.11)
Перейдем к более общей ситуации. Пусть й = lim ааЛ' D (Л). Для е > 0
выбе-
Л
рем Л так, чтобы выполнялось неравенство а*^адА" D (А) + е. Если Л( есть
объединение п = пхПу непересекающихся сдвигов Л и граничной области,
покрываемой (пх + пу + 1) сдвигами, Л, то, как и выше,
ааА' ° (Л) < адх•• ° (Л,) + О (1) (пх + пу + 1 )/","".
Пусть Л фиксировано и AiR2. Тогда пх-*-°о, пу-+ оо и (я* -j- пу +
\)/пхп,, 0.
Следовательно,
а < адА' D (А) + в < аЗЛь 0 (А,) + 2в, и сходимость доказана. Случай
адА'N (Л) рассматривается аналогично. |
10.4 Положительность при отражениях
Мы покажем здесь, что 0-инвариантная мера jj, положительна при отражении
0. Случай неинвариантных мер рассматривается в § 10.6.
Скалярное произведение в гильбертовом пространстве Ж определяется
билинейной формой
Ь(А, В) = фА, B)LAd")=*\QABdvL = (A, §)m. (10.4.1)
Условие положительности при отражении 0 состоит в том, что
10.4 Положительность при отражениях 221
Ь(А,А)^ 0 для всех Ле<?Г+. В случае квантовых полей Ж есть пространство
квантовых состояний. В классической статистической механике Ж есть
пространство, в котором трансфер-матрица действует как самосопряженный
оператор. В обоих случаях 0 есть отражение относительно гиперплоскости П.
Пространство <§?+ порождается функционалами е'Ч(П, где supp/t=n+; П± -
две связные компоненты множества Мы изучаем здесь Р(ф)г-
меры, решеточные поля и модели изингова типа с граничными условиями
Дирихле, Неймана или периодическими граничными условиями. Для простоты
используются квантовополевые обозначения.
Основным следствием положительности при отражениях является неравенство
Шварца:
| Ь {А, В) | = | <А, [ < Ш* \\B\U =
^ b(A,A)l'2b(B,B)1'2, (10.4.2)
справедливое для всех А, В ^.&+.
В гл. 6 было введено преобразование Фурье Sд меры dn, заданной на ?Ь'\
5Д{/} = / e'i'(f)dn((p). Отражение 0, как и любой непрерывный изоморфизм
Ф', определяет преобразованную меру ddn с помощью соотношения
Sje~>f) = SBll{f}. (10.4.3)
Определение 10.4.1. Мера d\i называется (c)-инвариантной, если Qdц = d\i,
т. е. 5[Д0/} = ^{f} для всех f.
Напомним также, что для гауссовой меры со средним нуль и ковариацией С
характеристический функционал задается формулой (см. гл. 6)
$с {0 = exp (- j (f, Cf)) = J e"P dyc
(в гауссовом случае ковариация однозначно определяет меру).
Следовательно, преобразование Фурье новой меры имеет вид
Sc {е-1/} = ехр (- j (/, 0С0-1/" = sece-, {/}.
Таким образом, Qdq>c есть гауссова мера со средним нуль и ковариацией
0С0-1, поэтому мера dcpc 0-инвариантна тогда и только тогда, когда [0, С]
= 0.
Теорема 10.4.2. Пусть мера dqc Q-инвариантна, а С = (-Ав + -f /)-1 = Св -
ковариационный оператор с классическими граничными условиями,
рассмотренными в § 7.10. Тогда мера dq>c удовлетворяет условию
