Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 85

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 187 >> Следующая

определяет изометрическое вложение /2(IntA5) в L2(Л).
Пусть Пб есть оператор проектирования, действующий в Ь2(Л) и обрезающий
ряд Фурье при ka/n = б-1, т. е.
Пб?айей = И akek- (9 5 18)
1 <fea/n<(i/6)-i
Тогда & вычисляется по формуле
(/Л = ( Пб/)|лв, (9.5.19)
т, е. проекция Пй/ ограничивается на точки решетки.
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 209
В силу изометричности вложения, установленной в следствии
9.5.4, мы можем рассматривать Се, d как оператор, действующий в
L2(А). Иначе говоря,
Се, d = d ts, (9.5.20)
где в правой части равенства Се, d действует в /2(Int Лб), а в левой
части -в L2( А). Как оператор в L2( Л), Се, о имеет ядро
Сб.о(х, (/)= Z (Xl + m2ylek(x)ek(y). (9.5.21)
1<*а/я<0/в)-1
Ограничение этого ядра на точки решетки х, у ^ IntA6 совпадает с
матричным представлением Се, о как оператора в /2(Int Лб).
Предложение 9.5.5. Операторы C&,d сходятся по норме при 6->0 к Cd, где
Cd- ковариационный оператор в L2(Л) с граничными условиями Дирихле. Все
операторы рассматриваются как действующие в L2(A) (следствие 9.5.4).
Фактически IIСе, о-Сп|| ^
О (б2).
Доказательство. Рассмотрим Z)g = ^ (k2 + m2)~1 ек(х)ек(у). Мы
1 < kjn < (1/8)-1 утверждаем, что II Cg_ D D6 ц о (б2). Действительно,
(4 + m2)~' - (fe2 + m2)~' = (k2 - X6k) (X6k + m2yl (k2 + m2)-1.
(9.5.22)
При этом
а=1 а=1 а
где 0ц = &а6/2. Поскольку 0< 0(r) < я/2, имеем
4k2/n2 < 4 < Ь2- (9.Б.24)
Поэтому
о < k2 - = ? kl (1 - [sin 6"/0"]2)<O (1) ? k\ (е")2 <0(1)1* |4б2,
(9.5.25)
а=1 а=1
так как 1 -;e_2(sin х)2 < 0(х2). Таким образом, правая часть (9.5.22) не
превосходит 0(1) б2. Поскольку е*(д:)вк(у) есть ядро ортогональной
проекции на ek, получаем: || С6 D - D6 || ^ О (б2). Наконец,
CD (х, у) = ? (*2 + "*2)- Ч (*) ek
1 < ka/n < оо
Следовательно,
|| - CD ||< inf {(й2 + m2)-1: kjn^b~^ для некоторого a}
и С{в-> Сд по норме. |
Введем теперь выпуклое множество Wm,\, порожденное всеми операторами Се,
i>(m и Л фиксированы) при 6 = 0 и 6 = 2"v,
V i= Z+. Оно пригодится нам при изучении пределов решеточные
рЛф g Анализ и перенормировки
мер Р(ф)г, когда 6->0. Каждый оператор д. диагонали-
зуется в базисе {е*}, поэтому уравнение
Cek = (k^ + m*y\ (9.5.26)
определяет числа А(йС). Из (9.5.24) и свойства выпуклости следует, что
4 йа/яа < А*С). (9.5.27)
Заметим также, что П6С = СП6 = П6С11б.
Предложение 9.5.6. Определим для каждого С'е'гРт, X постоянную викова
упорядочения
са(х) = (ПаС) (х, х).
Тогда
[const In б-1 при d = 2,
0^св(л:)^{ _d,2
I const б при
и константы не зависят от С е Wm, а•
Доказательство. Согласно (9.5.2), \е^(х)] <.2d/2, поэтому
О <<*(*)= Z (4C, + m2)_'eAW2<
1<Аа/я"1/в)-1
<2*- ? (*.!?"+ "•)¦*.
1<йа/я<(1/6)-1
Применяя неравенство (9.5.27), получаем оценку
са (*)< 2d- ^ (4?2л-2 + /п2) 1>
1<*а/Я<(1/6)-1
из которой легко следует наше утверждение. |
Предложение 9.5.7. Пусть d = 2, р < оо. 7огда для Се^д С (я, -)eLp(A),
(ПвС)(*, -)eLp(A),
и их нормы ограничены равномерно по х и С. Для любого е <
< min{2/p, 1} при 6-"-О равномерно по С справедливы оценки
sup || С (я, -)-(П6С)(*, .)|| <0( fie),
хеЛ Р' '
sup || С6, D (х, •) ~ CD (X, ¦ ) \\L (Л. < О (68).
jeA Р 4 '
Доказательство. Так как Л - ограниченная область, можно считать, что 2 ^
р. Неравенство Хаусдорфа - Юнга доказывается для разложений по синусам
так же, как и в случае обычных рядов Фурье. Нужно лишь отдельно
рассмотреть вклад от четных и нечетных /га/я. (Периодический случай см. в
книге [Zygmund, 1959].) Поэтому )| f\\Lo (Л) < || 1 \\lp, (nZd), где р'
=pl(p - 1) е= [1, 2]. Заметим,
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 211
IСб, d*>!к0(л> = 1 ? (**+ "*2)"1"*(*)"*(¦)
^ I kin
(9.5.28)
vA)
Коэффициенты Фурье для C6D (х, •) равны (Я(r) + 1 ek(x).
Следовательно,
применяя (9.5.24), получаем оценку для /р/-нормы ряда Фурье:
I (Яt + m2yV12 || < const || (k2 + 1)":' || =
= const II (k2 + \yp' |?У < const- (9.5.29)
так как p' > 1. Рассмотрев вместо Сб о оператор Cfl o - С0,найдем
его коэф-
фициенты Фурье:
[(я(r) + га2) * -(fc2 + m2) '] (л:) = a (ft)-
Как и при оценивании выражения (9.5.22), воспользуемся неравенством
1 -(х-1 sin х)2 0(хе) при 0 ^ е 2 и оценкой (9.5.25); получим
| a (k) | ^ const 6s {k2 + О 1+Е/ для любого 0^е^2.
Выберем теперь 8 < 2/р. Тогда
(-2 + е)Р'< (-2 + 2(1 -1/р'))р' = -2, так что (k2 + 1)-1+е/2 е 1р,-
Следовательно, || а (•) \\t ^ О (бе)- Доказательства для
операторов Cefffl Л общего вида аналогичны. Щ
В заключение этого параграфа обсудим соотношение между ковариационными
операторами с граничными условиями Дирихле на границах дА[ и дЛ2 двух
областей Aj cz Л2. Чтобы указать зависимость от Л явно, введем
обозначение Са, л=Са, о- Удобно рассматривать Се, At и Се, л3 как
матричные операторы в пространстве /2 (Л 2, в), причем Се, а, = 0 на
/2(Л2, e\Int Л;,в).
При расширении области Л происходит монотонное возрастание С в, а и в
операторном смысле, и поточечно (в смысле матричных элементов). Это есть
решеточный аналог монотонности, доказанной в § 7.8, причем результаты §
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed