Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 90

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 187 >> Следующая

положительности относительно отражения 0.
Замечание. Так как оператор С может быть определен на Rd, на
222 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Та или на Zd, то квантовые и решеточные поля, модель Изинга, модель
Гейзенберга и т. д. являются частными случаями систем, для которых
выполнена теорема 10.4.2.
Доказательство. Из сказанного выше вытекает, что [0, С] = 0. В силу
теорем 7.10.1-3, ковариационный оператор С положителен при отражении 0.
По теореме 6.2.2 мера dq>c также положительна при отражении 0. J)
Рассмотрим меру Р(<р)2 (или решеточную меру Р(ср)а) в конечном объеме с
классическими граничными условиями. Пусть Св - ковариационный оператор с
граничными условиями на ГгздЛ, где Л - ограниченная область в R2, а Г,
как и в § 7.10, есть объединение прямолинейных отрезков решетки.
Определим следующую меру:
dn = dn(V, A, CB) = Z~le~v<X)dq,CB, (10.4.4)
где
V(A)=\-.P(q>(x)):C0dx, (10.4.5)
Л
Z = Z(V, А, Св)= (10.4.6)
Заметим, что 0йц(У, Л, Св) = йц(0У, 0Л, 0С50-1). В этом случае 0-
инвариантность означает, что выполнены условия 0Л == Л, QV= У и [0,СВ] =
О.
Теорема 10.4.3. Если мера dp, определенная соотношением (10.4.4), 0-
инвариантна, то она удовлетворяет условию положительности относительно
отражения 0.
Замечание. Так как свойство положительности при отражениях сохраняется
после перехода к пределу, то мера в бесконечном объеме d\i{V,CB) (в тех
случаях, когда она существует) положительна при отражениях.
Доказательство. Перепишем V(A) в виде V(A) = V+ + V-, где
V± = V(A±) и Л±=ЛПП±. (10.4.7)
Таким образом, 0V+ = и V = V+ + QV+. По теореме 10.4.2 мера rfcpc
положительна относительно отражения 0. Поэтому и мера положительна
относительно 0, что видно из записи Zdp - (Be V+) е + rf<pc-
10.5. Многократные отражения
Для оценивания функциональных интегралов применяется неравенство Шварца
(10.4.2). В этом параграфе мы получим оценки, связанные с использованием
метода многократных отражений. Эти оценки получаются при помощи
последовательного применения неравенств Шварца, отвечающих
последовательности гиперплоскостей П и операторов отражения 0п-
10.5 Многократные отражения 223
Мы рассматриваем общую вероятностную меру d\x на 3)', удовлетворяющую
аксиомам OS 0, 2, 3 из § 6.1 (аналитичность преобразования Фурье,
инвариантность и положительность при отражениях), или Р(ф)2-меру в
конечном объеме, построенную в § 8.6. В обоих случаях положим & =
L2(SD',d\x) и для любого открытого множества Ac~ Rd определим <% {А) как
подпространство в Ж, порожденное функционалами е^!\ где supp/czA. Так,
lg'+=(^(^d-1X(0, оо)), а для множеств Л вида ?d_1X(sbs2) введем
специальное обозначение
ff(si, s2) = &(Rd-1 X(s,, s2)). (10.5.1)
Оценки по методу многократных отражений применяются в трех разных
случаях. При этом возникают различные геометрические конфигурации. Первая
конфигурация связана с отражениями 0nv, v=l,
2, ..., d, относительно ортогональных координатных гиперплоскостей. Пусть
(./?+)d- первый октант, т. е. множество {х: xv > 0, v =
= 1, 2, ..., d}. Тогда каждой функции k е 8 ((./?+)а) соответствует
отраженная функция R (k):
R(k) =
= П Г(П 0п )
/={1,2.....d}L\v"=/ V J
(10.5.2) Рис. 10.1. Многократные отражения в слу-_ . чае группы
решеточных отражений.
Здесь (-) обозначает комплексное сопряжение при
нечетных |/| и тождественное преобразование при четных |/|. На рис. 10.1
показано действие R. При этом подмножества Rd
рассматриваются как носители функции k и ее отражений.
Опера-
торы отражений Ц 0п образуют группу, называемую группой
v<=I v
решеточных отражений.
Предложение 10.5.1. Пусть мера d\i инвариантна и положительна при
отражениях, отвечающих образующим 0nv решеточной группы отражений. Пусть
& е <?Г ( (R+)d). Тогда
224 Гл. Ю. Оценки, не зависящие от размерности
Доказательство. Для доказательства неравенства (10.5.3) нужно d раз
применить неравенство Шварца относительно скалярных произведений
(A, S)v = ^
Здесь v = 1, 2, ..., d и А, В е & X {R+)d _v+i)- Положительная
опреде-
ленность скалярных произведений следует из теоремы 10.4.3. Щ
Второй геометрической конфигурации отвечают отражения относительно
гиперплоскостей, порождаемых решеточными сдвигами некоторой
гиперплоскости П. В качестве П возьмем гиперплоскость t = 0. В этом
случае мы изучаем отражения, изображенные на рис. 10.2. Эти отражения
порождаются группой цело-
t 21 2t 4t. Врейя
Рис. 10.2. Многократные отражения, порожденные целочисленной группой
временных трансляций.
численных временных трансляций. Предположим, что ^е^(0,t), и определим
функцию
П______
Мп (k) - П (0&)(2/-1Н k(u-\)f (10.5.4)
Здесь 0 - отражение относительно гиперплоскости ^ = 0, a ks - =
T{s)kT(s)~l - функция k, сдвинутая по времени на величину s. Кроме того,
положим
а\ 1/2^
Mn{k)dv) . (10.6.5)
'
Предложение 10.5.2. Пусть мера d\a удовлетворяет аксиомам
OS2-3 (инвариантность и положительность при отражениях).
Тогда для k е <S (0, t)
(10.5.6)
Доказательство. Используя положительность при отражениях и трансляционную
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed