Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
раз не-
равенство (11.3.3), получаем
<"* №>д _ fo, (П)д < <е. 11))Л(" < <". (11.3.4)
Чтобы оценить (11.3.4), заметим, что К(п) есть прямоугольник со сторонами
длины
= 2пах, а(tm) = 2 nay. (11.3.5)
Его площадь равна = 4"]/СI. Прямоугольник имеет стороны длины
bf = 6<J> + (2П -2)ах^ ЬУ + 2 пах,
Ьф = bf + (!2" - 2) ау < ЬЫ + 2%. ° ^
Это вытекает из равенства
Ър = 6^" *> + = (2П~1 + ... + 2) ах + Ь{? = (2П ~2)ах + Ь^\
При достаточно больших п
<2%, b^^2nay. (11.3.7)
Тогда
|А<")| ^ 4 • (2П) (2П) |К| = 4|/С<*>|, (11.3.8)
так что К(п) покрывает по крайней мере одну четверть площади Ат (рис.
11.1(e)). Записывая (11.3.4) в виде отношения
S •,('и-'',лМчлМ/5
12.1 Введение 241
мы оцениваем числитель и знаменатель по отдельности. В силу предложения
10.3.1 и оценки (10.3.8),
С < (о 0)|Л(П)1 \ (f("^ (Л,П)) (И-3.9)
где дерgj^n) обозначает гауссову меру с граничными условиями Неймана на
всех единичных квадратах в Л(л>. Так как правая часть (11.3.9)
факторизуется, мы оцениваем ее с помощью теоремы 8.6.2. Действительно,
(8.6.8) дает оценку сверху вида exp(0(N(g) + |Л|)), где g/ = f/ при j ?=
\ суть коэффициенты полинома Р, a gi ¦= fi + /<"> (см. (8.6.2, 4)). Норма
N(g) оценивается следующим образом: N (g) О (| Л |) _j_ || где
константа зависит от Р, т. е.
от функций f/, но не зависит от f и /(п). Таким образом,
<"ФШ>Л, с<[0(1)Л(П>"р{С|1Г)11^}]4"П. (11.3.Ю)
Заметим, что fw есть сумма отражений f, причем носители f при различных
отражениях не пересекаются. Поэтому II f'n4l? =4rt||/||?. Применяя
(11.3.8),
(11.3.10), окончательно получаем, что
(e^\tC<exp{c(\K\ + \mpLp)}. I (11.3.11)
Замечание (из истории вопроса). Впервые идея использовать многократные
отражения относительно полной решеточной группы Zd для того, чтобы свести
оценки локальных возмущений к оценкам свободной энергии, появилась в
работе [Glimm, Jaffe, Spencer, 1975]. Этот метод значительно упростил
исследование предельного перехода F-э-оо. Для полуограниченных Р общего
вида граничные условия со слабой связью [Glimm, Jaffe, 1975b]
определяются с помощью кластерного разложения при большом внешнем поле
[Spencer, 1974b]; см. также гл. 18. Из неравенств ФКЖ § 10.2 следует
монотонность по внешнему полю. Монотонность и оценки многократных
отражений позволяют избавиться от большого внешнего поля. См. [Frohlich,
Simon, 1977].
Глава 12
Регулярность поля и проверка аксиом
12.1 Введение
Анализ, основанный на формуле интегрирования по частям, который был
развит в гл. 9 для случая меры в конечном объеме, можно перенести и на
случай меры йц в бесконечном объеме, построенной в гл. 11.
Соответствующие основные тождества порождают ряды, с помощью которых
можно установить регуляр-
242 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
ность и другие свойства моделей квантового поля. Разложение по теории
возмущений, проведенное нами в § 8.4 и 9.4, основывалось на тождествах,
связанных с интегрированием по частям. Это же относится к
высокотемпературным и низкотемпературным разложениям, изучаемым в части
III и в другой обширной литературе. Эти разложения являются мощным
средством, позволяющим подробно исследовать, с одной стороны, локальные
(ультрафиолетовые) особенности модели и, с другой стороны, характер
убывания взаимодействия на бесконечности (инфракрасное поведение).
Так как Р(<р)2-модели суперперенормируемы, то ультрафиолетовое поведение
определяется членами низших порядков в рядах теории возмущений. При этом
главная особенность такая же, как и у свободного поля. Для функции Грина
она была представлена в явной форме в гл. 7. Добавок, обусловленный
взаимодействием, как мы увидим ниже, оказывается регулярным. В § 12.5 мы
воспользуемся интегрированием по частям для того, чтобы установить
инфракрасное поведение с помощью оценки сверху характеристического
функционала S{if} и исключить в оценках теоремы 12.4.1 зависимость от
площади /((supp f cz К).
Иначе формулу интегрирования по частям (9.1.32) можно рассматривать как
евклидово уравнение движения. Именно, для Р(ф)-моделей это уравнение
имеет вид
<-Д + "')"<*)+ P'<?<*>)=T^+(5Tw)'- ('2ЛЛ)
В частности, после аналитического продолжения на вещественную ось времени
правая часть уравнения (12.1.1) обращается в нуль, а левая превращается в
нелинейное уравнение относительно ф:
(-? +/п2)ф(х)+Р'(ф(л:))-0. (12.1.2)
Трудности, возникающие при корректном выводе соотношения
(12.1.1), знакомы нам по модели в конечном объеме и были изучены в § 9.1.
Они связаны с определением и регулярностью перенормированного (в данном
случае упорядоченного по Вику) полинома Р(ф). В этой главе мы получаем те
же результаты для случая модели в бесконечном объеме с помощью
равномерных по объему оценок для : ф' :. Из сходимости мер с?цЛ к мере
с1ц в бесконечном объеме, установленной в гл. И, вытекает, что полином
:ц>>: в бесконечном объеме можно получить, с одной стороны, как предел
аналогичных выражений для конечных объемов, а с другой стороны, построить
