Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
место следующая
Теорема 10.2.1. Пусть выполнены условия (10.2.1). Тогда для непрерывного
поля Р(ф)г в конечном объеме справедливы корреляционные неравенства и
теорема Ли - Янга.
Замечание. После того как в гл. 11 (ив гл. 18) будут построены меры в
бесконечном объеме, мы увидим, что для них также верны корреляционные
неравенства и теорема Ли - Янга.
В качестве первого приложения корреляционных неравенств докажем
утверждение о монотонной зависимости функций Швингера от объема (при
граничных условиях Дирихле). Аналогичные результаты для систем
статистической механики получены в § 4.2.
Теорема 10.2.2. Пусть <->ал,в обозначает среднее по Р(у)2-мере
(9.1.30), определенной в прямоугольнике AaR2 с граничными условиями
Дирихле на дА. В формуле (9.1.30) мы полагаем С2 - (-Дал+ffJ2)-1, а
оператор С\ считаем не зависящим от А. Предположим, что выполнено условие
(10.2.lb). Тогда функции Швингера
S^{xь ..., хп) - <ф(^0 ... Ф(Хп)Уз\, D (10.2.2)
неотрицательны и монотонно возрастают при увеличении Л. Кроме того, при
0^feCo° характеристический функционал
(e<P^}dA,D = S{-if}dA,D (10.2.3)
положителен и монотонно возрастает с увеличением А.
Замечание. В этой теореме виково упорядочение полинома Р не должно
зависеть от Л. Например, это упорядочение можно проводить с помощью
свободного ковариационного оператора С0.
Доказательство. Пусть Ai с: Л. Рассмотрим решеточную аппроксимацию из §
9.5,6 с шагом решетки о. Пусть (•)^ ал D = (•) обозначает усреднение
относительно решеточной меры D вида (9.6.8) с граничными условиями
Дирихле. Мы покажем, что при фиксированном б имеет место монотонность по
Л функций (10.2.2-3) со средним <•>. Сходимость решеточных аппроксимаций
при б->0 (см. Теорему 9.6.4) завершает доказательство.
Докажем теперь, что монотонность в случае решеточной аппроксимации
следует из неравенства Гриффитса. Действительно, рэссмотрим, как и в
предложении 9.5.8, локальное возмущение массы m (х)2 = у Int Л| (я). При
фиксированном б, переходя к пределу Л->-оо, получаем оператор ковариации
и меру ^8, D с граничными условиями Дирихле на <5Aj. С другой стороны,
при возрастании X функции Швингера и характеристический функционал
уменьшаются, тай как
- Se.V d(x 1.........*п) = t bd Yj Кфв <*0 • • • ф8 (*") :ф" (*)2г> "
хяЛА\Л1в
- <ч>в (*i) ¦ " ч"в (*")> < ¦% w8; >]• <10-2-4)
218 Гл. 10 Оценки, не зависящие от размерности
Без викова упорядочения правая часть была бы положительна в силу второго
неравенства Гриффитса. Усложнение, связанное с наличием упорядочения,
можно преодолеть, заметив, что :фв {х)г: = Фб (х)2 - с& (х), где
константа (х) не зависит от ф. Поэтому слагаемые в правой части (10.2.4),
содержащие (*), сокращаются. Щ
Следствие 10.2.3. Предположим, что выполнено условие (10.2.lb). Тогда
функции Швингера и характеристический функционал
S {-if}, где f ^ 0, монотонно возрастают по ц.
Доказательство. Производная функционала S есть функция Швингера, а
производная функции Швингера есть усеченная функция Швингера. Таким
образом, утверждения следствия вытекают из первого и второго неравенств
Гриффитса. |
10.3 Монотонность и расщепление при условиях Дирихле или Неймана
В этом параграфе мы будем рассматривать статистическую сумму 7.в (Л) = J
exp (- : V: Cfl) йуСв и свободную энергию
ав (Л) = (In ZB (Л)) /1Л |. (10.3.1)
Здесь, как и в гл. 7, 8, В = 0, N, Г, D, р обозначает граничные условия
(соответственно свободные, Неймана, Дирихле или периодические),
определяющие ковариационный оператор Св, а
V- ^ Р (ф (х)) dx. Мы будем считать, что константы связи удов-л
летворяют условиям (8.6.2, 4). В случаях N, D vl р предполагается, что
имеется решетка в R2 и граничные условия задаются на всех
ее линиях, а в случае Г, где Г - часть этой решетки,
только на
линиях Г.
Предложение 10.3.1 (Обусловленность). Пусть А фиксировано и Г] с Гг.
Тогда
ZD<Zrj<Zrt<Z0<Zjv, ZD<ZP<ZW. (10.3.2)
Доказательство. Мы докажем второе неравенство: первое и третье являются
частными случаями второго, а остальные доказываются аналогично. Пусть
С (0 = tCVi + (1 _ t) СГг и Z (t) = J exp (- :У:С (()) йФс ((). Тогда С
(<) = Сг, -
- СГз>0 по неравенству (7.7.4), и, следовательно, dZ(t)/dt^z0 в силу
(9.1.35). |
Заметим, что ZD и ZN представляются в виде произведения, т. е.
расщепляются, причем каждый множитель отвечает некоторому квадрату
решетки А с Л:
Zd(A)= IIZd(A). (10.3.3)
Дс=Л
(Л) ~ TL ZN (А). (10.3.4)
ДсЛ
10.3 Монотонность и расщепление при условиях Дирихле 219
Следствие 10.3.2. Предположим, что коэффициенты { полинома взаимодействия
Р на каждом квадрате решетки Д имеют конечные нормы. N(/) и M(f),
определенные в (8.6.5-6). Пусть, кроме того, эти нормы равномерно
ограничены по Д. Тогда
е-°(1Л1> < ZB(Л) ^ е°<1Л|) (10.3.5)
и свободная энергия (10.3.1) равномерно ограничена при всех Л.
Доказательство. Оценка сверху вытекает из оценки сверху для ZN в теореме
8.6.2 и из (10.3.4). Пусть [о в (8.6.2) есть константа связи, отвечающая
свободному члену полинома Р. Тогда из (8.6.4) и предположения о
