Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
((Qk)t) е~'н. Поэтому
II Я2П~ ^ \% = ((r)М2П-1 (*) т (2"<) А, М2"_ J (ft) Т (2"<М>, =
~(вЛ, M2n(k)T{2n+lt) A^\\AfL ( J | Л<2" (А) | ,
где Mn(k) определено выражением (10.5.4). Используя равенство
(10.5.5), полу-
чаем, что
lim I Q2"' 'Я & П < Шп || Л |||" а M(k).
п п °°
Для завершения доказательства остается подставить последнюю оценку
в
(10.5.12):
\\ke~ ШЛ||^<М (ft) || аII*. В
Определим теперь область Жь, состоящую из аналитических
векторов для оператора Н:
Жь = е-&НЖ. (10.5.13)
Области Жь используются для построения аналитического продолжения из
евклидова пространства в пространство Минковского и для
доказательства евклидовой формулы Фейнмана - Каца
в гл. 19. При этом в качестве первого шага применяется оценка,
Доказываемая ниже.
228
Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Следствие 10.5.6. Пусть 6 > 0, 0 ^ т < 6/4, б'>/ + 6/2 и М (k) < оо.
Тогда как билинейная форма на Зёь X анали-
тична по х и продолжается до комплексно аналитической функции в круге | т
| <Г 6/8. Кроме того,
rln л
• ш JL________и р- б'н
dxn
Доказательство. Так как имеет место равенство
"-6 н
dx
kxe-&'H = e-^H[k, Я]е-<6'-
х )Н
то оценку (10.5.14) можно доказать при помощи теоремы 10.5.5 и
соотношений Сщ = II Н,пе~6н141| (4/6)m ml, " " ------" . f п \-1
Аналитичность следует из (10.5.14). В
С помощью оценок норм операторов в 36 можно получать оценки интегралов по
мере dp..
Следствие 10.5.7. Пусть k{0), &(1),
(10.5.15)
/=о
/=о
(10.5.16)
Доказательство. Заметим, что (/7, (j + l)t). Кроме того,
(Й *'//)
Произведение операторов в правой части упорядочено следующим образом:
слева направо от
?""е-"
до k(-r)e~tH. Применяя теорему и неравенство для оператор-
ных норм
ЕМ <П IIл,II* получаем (10.5.15). 1
Следствие 10.5.8. Пусть 1 cZd - конечное множество, и пусть для каждого j
е / задана функция е S'(А,). Тогда
(10.5.17)
jsj /<=./
где S'(k) определено равенством (10.5.8).
Доказательство. Формально достаточно применить следствие 10.5.7 по
каждому координатному направлению. Фактически нужно рассуждать аналогично
доказательству теоремы 10.5.5 и следствия 10.5.7, т. е. переходить к
пределу nv оо только после того, как выполнены отражения по всем
направлениям. 1
Замечание. Несимметричная оценка по методу многократных отражений
доказывается в теореме 12.4.2. В этом случае не предполагается, что мера
dp инвариантна относительно отражений. В несимметричном случае вместо
неравенства Шварца используется неравенство (10.6.8).
10.6 Несимметричные отражения 229
10.6. Несимметричные отражения
Неравенство Шварца, используемое в симметричной ситуации, допускает
обобщение на случай, когда мера d\i не симметрична относительно отражения
0, определяемого некоторой гиперплоскостью П. В несимметричном случае
неравенство Шварца имеет вид
\Ь(А,В) |< const M>M)1/aMfl. В)1'2, (10.6.1)
где Ь\, Ъ2 положительны при отражении 0 и 0-инвариантны. Изложение в этом
параграфе носит более технический характер по сравнению с симметричным
случаем (§ 10.4). Заметим, однако, что доказанные ниже оценки
используются лишь для проверки регулярности полей Р(ф)г, но не для
доказательства их существования.
Пусть d\x есть мера вида (10.4.4) с классическими граничными условиями на
Г. Определим вначале отвечающие ей 0-инвариант-ные меры йц±. Мы
предполагаем, что Г П П ф 0 и пересечение трансверсально, т. е.
dim(rfin)^d - 2. Пусть П± - два полупространства Rd\U. Положим
Г+ = (Г П П+) U (0Г П П_), (10.6.2)
Г_ = (ГПП_)и(0ГПП+). (10.6.3)
Легко видеть, что Г+ и Г_ 0-инвариантны. Пусть QB - граничные условия В,
отраженные относительно П, и пусть
В+ = граничные условия В на ГГ|П+ и граничные условия дВ на 0ГПП_;
В_^ граничные условия В на Г|~|П_ и (10.6.4) граничные условия 0? на
0ГПП+.
С+ = Св+, С~=Св_'
По построению операторы С+ и С_ 0-инвариантны.
Рассматриваемые нами меры d\i характеризуются тремя объектами:
взаимодействием V, объемом Л и гауссовой ковариацией С. Положим F±=F(A±),
Л± = Л П П± и определим меры d\i±:
dli+ = dli(V+ + QV+, A+U0A+, Св+) =
= z+V(^)dcPc+,
(10.6.5)
d\i_ = (V_ + QV_, A_ U 0A_, CB_) =
= ZZle-<y-+w-)dVCm.
230 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Здесь Z± - обычные нормирующие множители, выбранные так, чтобы ^ d\n±= 1.
Так как V±, Л± и С±, определяющие о!ц±, 0-ин-вариантны,то
edn± = d[i±. (10.6.6)
По теореме 10.4.2 меры d\i± положительны при отражении 0. Если мера d\i
0-инвариантна, то С = С+ = С_, dyi = == d\и Z -
= Z+ = Z-.
В симметричном случае, т. е. когда мера d\x 0-инвариантна, неравенство
Шварца можно записать в виде
|<Л,В>^|2<<0Л,Я>^<0В,В>д, Ле<Г_, ВЕВ&+. (10.6.7)
Обобщением неравенства (10.6.7) является неравенство
(M,B)J2<^f^det {С~2С+С_у/2 <0Л, А)ц_ <05, B)il+ . (10.6.8)
Заметим, что билинейная форма <Л, В>и может не быть положительно
определенной.
Предложение 10.6.1. Если неравенство (10.6.8) справедливо в гауссовом
случае, то оно выполняется и для меры
Доказательство. Множитель Z+Z-Z-2 можно устранить, если вместо мер й\ь,
