Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
7.8 можно получать из этой решеточной монотонности в пределе при 6->0
Предложение 9.5.8. Решеточные ковариационные операторы Се, л монотонны по
Л. При Ai cz Л2
Св,л,<Сб,лг (9.5.30)
и 0<Св,А,(*> I/ХСб, аЛх, у), X, г/е=Л2,б. (9.5.31)
Доказательство. Как и в § 7.8, мы вводим интерполирующее семейство для
операторов с граничными условиями на <?Л2 и дЛ4 с помощью локального
возмущения массы. При этом к Сд/д, добавляется член т(х)2-*- оо при
л:еЛ2>6\ \IntAj в. Доказательство соотношения
С6, Л, с М = lim (сб, л.2 \ int Л|) (9.5.32)
212 Гл. 9. Анализ и перенормировки
проводится аналогично доказательству предложения 7,8.1, хотя (9.5.32)
элементарно, так как С6 Л - конечная матрица. Операторная монотонность
следует из
неравенства
dC/dX =-С (X) хЛг х Int л С (X) < 0. (9.5.33 j
Поточечная положительность (С& Л (х, у) ^ 0) в узлах решетки х, yeAj
вытекает из решеточного принципа максимума; см. предложение 9.5.2.
Поточечная монотонность следует из (9.5.33) и поточечной положительности.
|
В гл. 18 мы получим решеточный аналог представления ковариации через
интеграл Винера (7.8.3). При этом диффузионный процесс заменяется
случайным блужданием по решетке бZd. Поточечная и операторная
монотонность могут быть также доказаны применением решеточного аналога
формулы (7.8.14) к (9.5.33).
9.6. Решеточные аппроксимации мер Р (ф)г
В этом параграфе вводится решеточная аппроксимация для мер Р(ср)2,
рассмотренных в гл. 8. В действительности мы уже пользовались в § 8.7
дискретной аппроксимацией, основанной на приближении суммами Римана.
Изучаемая ниже аппроксимация связана с обрезанием рядов Фурье. Хотя обе
эти аппроксимации весьма полезны, вторая имеет некоторое преимущество:
она сохраняет OS-положительность и ферромагнитные свойства меры. Поэтому
решеточную аппроксимацию удобно использовать для доказательства
корреляционных неравенств. Можно также доказать сходимость решеточных
аппроксимаций для модели ф4 в размерности d = 3, но мы не будем здесь
этого касаться.
Для простоты, как и в § 9.5, выберем в качестве А единичный квадрат.
Пусть
f(x) -
kgJiteZ+ v -,
есть разложение Фурье по синусам для функции /. Здесь базис ек(х)
определен формулой (9.5.2). Пусть С^.о есть оператор (9.5.21),
действующий в L2(А). Тогда
(Св>в/)(*)= ? (xi + m2T'f(k)ek(x). (9.6.2)
l<*a/!t" (1/61-1
Напомним, что отображение it: /2(IntAfi)-vL2(A), определяемое формулой
(9.5.17), есть изометрическое вложение, а г'в: L2(A)-> -> /г (Int Лв)
определяется обрезанием ряда Фурье с последующим ограничением на узлы
решетки.
Если имеется гауссов процесс ф (у) с ковариацией С, то
Фв^^ОвФ) *sIntA6,
(9.6.3)
9.6 Решёточные аппроксимации мер Я(фЬ 213
определяет гауссово поле на решетке с ковариацией
С6 = /в Ci& = i&U6Ci6. (9.6.4)
Здесь мы выбираем
Се^д (9.6.5)
где Wm, л - выпуклое множество ковариационных операторов, порожденное
операторами Се, о при б - 0 или б = 2"v (§ 9.5). Поле
I Ini: Л* |
Фв можно рассматривать как гауссову меру на а или на 9*.
Обе меры имеют ковариацию С6, хотя в первом случае надо считать
С6 оператором в /2(Int Лб), а во втором случае С6 действует
с помощью изометрии г6 в пространстве Ь2(Л). Переходя к явным
формулам, обозначим Ц dq>6(x) меру Лебега в ^In A&L Тогда
х е Int Ag
d<p6,D = (detC6, 0Г1/2я-|1п4Лв1/2Х
ХехрГ--b-j- ? ?/) Фб П (-^)=
L х, у е Int Ag J х
- (det Сй, о)"1/2я^1ылб1/2Х
X ехр [- т (II Vfe ll;2 + tn2 II ф6 II2)] Д dy& (х) (9.6.6)
х
IInt Лл! ^
есть гауссова мера bR с ковариациеи С а, д.
Для изучения сходимости при 5->0 удобно рассматривать О как меру в 9'[Rd)
с ковариацией Се, д. Сходимость гауссовых мер в смысле сходимости
моментов и производящих функций есть прямое следствие сходимости
ковариационных операторов; она вытекает из формулы (6.2.2), выражающей
производящую функцию с помощью оператора Се, о.
Решеточная аппроксимация полиномиальных взаимодействий :Р(ф, f): (§ 8.6)
задается выражением
¦Р ("Ре" f)-c6 D = 6d ? t :(Р" (х)1: ft (х). (9.6.7)
о, и x&A^J^O и, и
В этом параграфе мы ограничимся функциями //, удовлетворяющими условиям
(8.6.4) и имеющими вид: гладкая функция, умноженная на характеристическую
функцию прямоугольника. Для сходимости решеточных аппроксимаций
существенно, чтобы функции f; были интегрируемы по Риману. Для краткости
введем обозначение
:Рл-.с = ^(Фв, /)!с
214 Гл. 9. Анализ и перенормировки
и рассмотрим пределы при б->0 мер
exp (- :P6:Ce D) d%, D
t> - 7---------------------------• (9.6.8)
^ exp (-:P6:Ce> D)d<pflfJ5
Сходимость мер (9.6.8) не вытекает из сходимости операторов Са, в,
поэтому необходимо доказать решеточный аналог теоремы 8.6.2. Положим
С (t) = tCo 1 - t)C(s,D, ехР ( - :^б:С(<)) d<fc (t)
D, t ¦
^ exp (- :P,з:с (/j) <ttpc (ll)
Предложение 9.6.1. Пусть d - 2, и пусть Q(ф6,) - полином от поля Фб"
Тогда при 6->0
| ^ Q (фб') ^6, D. 1 ^ (r) (^б') ^в, о, о ^ ^
Замечание. Мы переходим к пределу при 6->0 в два этапа. Вначале
рассматриваем предел при 6->0 ковариации меры cfcps. d и викова
