Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
С утгМ (g) exp (const (N (f) + N' (g) + 1)) В обоих случаях константы
зависят только от L.
12.4 Равномерность относительно объема
По аналогии с теоремой 11.3.1 мы покажем, что оценки § 12.3 равномерны
относительно объема |Л| области Л. Поскольку полиномиальная функция Q,
которую требуется оценить, не представима в виде суммы четного полинома и
линейного члена, мы не можем пользоваться монотонностью функционала Sa по
Л. Поэтому потребуется другая серия оценок по методу многократных
отражений. Мы воспользуемся методом несимметричных отражений, развитым в
§ 10.6. Преимущество этого общего метода состоит в том, что от полинома
взаимодействия Р требуется лишь полуограниченность, а в остальном он
может быть произвольным. В частности, в этом параграфе полином Р
необязательно имеет вид четный полином -f- линейный член.
Ниже К и Л будут прямоугольниками, причем К с Л. Мы предполагаем, что Л
выбирается из некоторой специальной последовательности прямоугольников Av
f оо, зависящей от К. Все эти соглашения имеют чисто технический характер
и не мешают делать заключения о предельной мере в бесконечном объеме.
12.4 Равномерность относительно объема 249
Теорема 12.4.1. Существуют такие константы с и е, что для любых к < у.' <
оо и произвольного прямоугольника К, длины сторон которого отделены от
нуля, найдется последовательность прямоугольников Av f R2, для которых
верны неравенства
при условии что supp g а К.
Доказательство. Вначале выберем прямоугольники Av и Я с общим центром и
параллельными сторонами. Пусть К - прямоугольник размера lY.t, a Av -
размера (2LV + /) X (2Г" + t). Будем считать, что Tv намного больше Lv +
/, и рассмотрим соответствующую последовательность Avf/?2. Мы займемся
выводом оценок при фиксированном v и, таким образом, опустим индекс v у
Av, Lv, Tv. Полученные оценки окажутся равномерными по v. Без ограничения
общности
Рис. 12.1. (а) до и (Ь) после отражения.
будем также считать, что I ^ L. Осью, относительно которой мы сделаем
первое отражение, будет одна из сторон прямоугольника К. Она не является
осью симметрии ни для прямоугольника Л, ни для линии граничных условий В.
Таким образом, мы используем несимметричную форму свойства
положительности при отражениях (предложение 10.6.1). Выбранная нами ось
разрезает прямоугольник Л на две части; пусть Л+- та из них, которая
содержит К. Тогда в формуле (10.6.8) Л = /, а множитель, содержащий А, в
силу нормировки, обращается в единицу. Это преобразование назовем
основным шагом (рис 12.1).
Далее, как и в доказательстве теоремы 11.3.1, основной шаг повторяется
несколько раз. После п повторений получим области Kin\ Л(п) и функцию
?<">, причем I | < 4 | К^ I для большого п. Пусть В = Д(0) = ехр
(g):).После п последовательных отражений получаем неравенство
Выше мы предположим, что (в обозначениях рис. 12.1) для достаточно брль-
шого T{2L-\-l) выполняется неравенство L + / <. T{2L + /) ^ Г2.
Прямоугольник Л, удовлетворяющий этим требованиям, должен быть очень
вытянутым. Как было сказано, первое отражение делается относительно
вертикальной стороны К. Если /о и ji выбраны так, что 2< 2Т + t <Г2и 2Jl/
< 2L + / 2^1+1/, то
J ехр (:ф^ (gr):)rf(xA/ < ехР (6' {l К 1 + 11 ? €р] ) •
\ ехр (:фI (g) - ф/, (я):) diiA[ < (g) ехр (с {| К \ + II g 11^}) >
(а)
(Ъ)
(12.4.1)
250 Гл. 12 Регулярность поля и проверка аксиом
мы сделаем /0 отражении относительно вертикальной оси и /4 относительно
горизонтальной.
Оценим каждый из сомножителей правой части (12,4.1). Сначала оценим
определители с помощью теоремы 10.6.2. Для начальных /0 отражений
относительно вертикальной оси выполнены соотношения
Lj = 2L + l, (Г/) - - Т, (77) + = Т + 2/-*/.
Поэтому Ljl(T])± ^ (2L + /)/Г ^ 1, и эти определители ограничены выраже-
/ о
нием П 0(1)2 '<0(1).
/=1
Для отражений относительно горизонтальной оси выполнены аналогичные
соотношения
(L/o+fc)_ =L' (Lh+k)+ = L + 2fe_1/, Г/о+* = 2Г + 2Ч
Поскольку L~^\, Т < (2Г + 2^t)jL < 2*0+2t. Следовательно, опре-
делители, отвечающие индексам /о < / < /о + /1, мажорируются величиной Л
JJ ехр [О (2W) 2~ /°" ] < ехр (О (/)) < ехр (О (| К |)).
k = l
Теперь рассмотрим произведение функций Z. После частичного сокращения (в
силу равенства Z^=Z^+I*) это произведение принимает вид
В силу двусторонней оценки (10.3.8), функции Z ограничены снизу и сверху.
Поэтому сомножитель с Z+ можно оценить с помощью приведенных выше
соотношений для площадей Л(п), п = /0 + Н- Имеем
(zW/z(1))2-n < ехр (О (77.) 2~п) < ехр (О (Я)) = ехр (О (| К\)).
С учетом предложения 12.3.2 подобные оценки можно применить и к
интегралу
в правой части (12.4.1). Это приводит к появлению множителя exр[const N
(g)]. (Здесь мы считаем функцию f фиксированной.)
Пусть Z(a, b) обозначает нормирующую статистическую сумму для
прямоугольники с X Ь. Тогда
Z(1) = Z (2Т + t, 2L + /),
Z^ = Z (27\ 2L + /), 1 < / < /о,
= Z (2Г + г'"/, 21), /0 + 1 < / < /о + /, = п.
Поэтому оставшееся отношение в произведении (12.4.2) сводится к выражению
