Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предыдущему. Обозначим ся ядро оператора ?jC6Я?2; тогда ся е Lp (R2 X -
R2), причем по предложению 7.9.1 Lp-норма си равномерно ограничена по х.
Поэтому для 6с = cXi - сХ2> в силу доказанного для случая р - 2, имеем
|| бс ||2(tm) = ^ бс2га d* < Q 6с2 dx у/2 ^ бс4га~2 d*y/2<
< const xfE (|| ся, ||i4n_2 + || \\Lin_$n~1 < const xf e. I
7.10 Положительность при отражениях
Положительность скалярного произведения в гильбертовом пространстве Ж
квантовомеханических состояний была выведена нами из свойства
положительности при отражениях, которым обладает ковариационный оператор
С гауссовой меры Лрс (теорема 6.2.2). В гл. 6 мы установили при помощи
прямого подсчета такую
162 Гл. 7. Ковариационный оператор
положительность у свободной ковариации (-А + /)-1 (предложение 6.2.5). В
§ 10.4 мы увидим, что доказательство положительности в негауссовом случае
опирается на соответствующий факт для гауссовых квантовых полей.
Для построения нелинейных квантовых полей удобно установить свойство
положительности и некоторых других мер, встречающихся на промежуточных
этапах построения. С этой целью проанализируем ковариационный оператор С
- (-Дв + /)-1, где В - граничные условия Дирихле и (или) Неймана,
заданные на объединении Г кусочно-гладких гиперповерхностей. Предполагая
граничные условия инвариантными относительно отражений, дадим общее
доказательство положительности при отражениях для С. А именно, мы
покажем, что положительность при отражениях эквивалентна уменьшению ядра
оператора С при введении условия Дирихле или Неймана на гиперповерхности,
относительно которой происходит отражение. Применяемый метод
устанавливает положительность при отражениях и в случае периодических
граничных условий, а также для решеточной аппроксимации оператора С.
Сформулируем свойство положительности при отражениях для оператора С = (-
Дв + /)-1. Пусть П - гиперплоскость в пространстве Rd, а 0п = 0 -
отражение (как преобразование Rd) относительно П; той же буквой будем
обозначать соответствующее преобразование функций на Rd. Пусть, кроме
того, Rd+ - две связные компоненты множества jRd\II. Заметим, что в
пространстве Li(Rd) оператор 9 самосопряжен и 92 =/. Пусть П± -
ортогональная проекция на LJR^].
Определение 7.10.1. Если [0, С] = 0, то оператор С назовем (c)-инвариантным
(т. е. инвариантным при отражениях относительно П).
Определение 7.10.2. 0-инвариантный оператор С назовем положительным при
отражении 0 относительно П, если
П+0СП+^О. (7.10.1)
Замечание 1. Так как [0, С] = 0, то неравенство (7.10.1) эквивалентно
неравенству П_0СП_ ^ 0. Таким образом, (7.10.1) - переформулировка
определения 6.2.1.
Замечание 2. По теореме 6.2.2 положительный при отражениях оператор С
является ковариационным оператором положительной при отражениях гауссовой
меры с?фс.
Теорема 7.10.1.* Рассмотрим 0-инвариантный оператор С ¦= = (-Дв + /)->,
где В обозначает граничные условия Дирихле и(или) Неймана на множестве Г.
Тогда С положителен при отражениях.
Доказательство. Пусть Р±"=(/±0)/2- проекции соответственно на четное и
¦нечетное собственные подпространства оператора 0. Заметим, что (/-0)? =
7.10 Положительность при отражениях 163
= 2Р-С = 2СР- Поэтому условие положительности (7.10.1) можно записать в
виде
П+[С - 2Р_С]П+ 0. (7.10.2)
Сначала докажем, что ограничение оператора 2P-С на подпространства Z,2(-
/?±) совпадает с ограничением на ?г(^±) оператора CD. Здесь CD = =(-Д?, +
71)-1, где Д?/ - оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле на П и
граничными условиями В на Г\П. Затем мы покажем, что CD ^ С. После этого
положительность (7.10.2) получается как следствие этих двух утверждений.
Первое утверждение вытекает из того, что (I ¦-Q)C(x,y) равно нулю на П и
(I - 0)С удовлетворяет уравнению (-Д + /) (/ - Q)C(x,y) - б(х - у).
Второе утверждение становится очевидным, если охарактеризовать билинейную
форму п±сБ'п± как ограничение билинейной формы С-1 на множество функций с
носителем в П±, равных нулю на П. Более подробное объяснение см. в § 7.7.
Замечание 1. Случай свободной ковариации Г = 0 особый. Используя
представление (7.5.1) с Г = П, обнаружим, что CD - это обычный
ковариационный оператор (-Дп+Л-1 с граничными условиями Дирихле,
заданными только на П.
Замечание 2. Положим по определению
CV = (/ -j- 0) С = 2Р+С - 2СР+. (7.10.3)
Вместо (7.10.2) можно записать условие положительности при отражениях
(7.10.1) в виде
О<П+0С'П+ = П+(С'ЛГ- С)П+ (7.10.4)
или, что эквивалентно, П_(Слг-С)П_^0. Мы утверждаем, опуская
доказательство, что здесь Cn- ковариационный оператор с граничными
условиями Неймана на П и граничными условиями В на Г\П. Лишь в частном
случае свободной ковариации можно непосредственно отождествить оператор
Cn с ковариационным оператором в случае граничных условий Неймана,
определенным формулой (7.4.1).
Замечание 3. Из (7.10.2-4) следует, что положительность при отражениях
эквивалентна неравенству
0 < П+0СП+ = (1/2)П+ (Cn - CD)П+
или 0 ^ П_(Слг - СД)П_. Так как П+(Слг - Сд)П_ = 0, можно сделать вывод,
