Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функция переменной X. В таких случаях разложение (8.4.3) следует понимать
как формальный степенной ряд для величины
^Л(ф)с(ц, которая предполагается С°°-функцией X в окрестности
X - 0 и ее 1-я производная в нуле равна arl\.
Теперь мы покажем, что каждый коэффициент представляется в виде суммы по
графам Фейнмана. А именно
где &1 - множество полностью спаренных графов с перенумерованными
отростками (т. е. диаграмм, у которых есть вершины и ребра, но нет
свободных отростков). По определению каждый граф Ce^j имеет I У-вершин
(порожденных экспонентой) и некоторое количество вершин, порожденных
подынтегральным полиномом Л(ф). Кроме того, каждый граф G ^'Si связен в
том смысле, что каждая его связная компонента содержит по крайней мере
одну А (ф)-вершину. Совокупность 9i состоит из всех таких графов, а
величина 1(G) задается выражением (8.3.4).
Чтобы доказать равенство (8.4.4) для некоторого I, будем интегрировать по
частям, если это возможно, до тех пор, пока после
I + 1 дифференцирований экспоненты не появится I -f- 1 сомножителей
А,бУ/бф. Такие слагаемые имеют порядок 0(A/+I), и ими можно пренебречь.
Останутся члены, которые уже нельзя интегрировать по частям. Это именно
те члены, в которых подынтегральный полином оказывается равным константе.
Они тривиально интегрируются, так как
(8.4.3)
(8.4.4)
If z
Y \ const с1ц = -^- ¦ const = const,
(8.4.5)
8.5 Оценки гауссовых интегралов 173
где константа равна 1(G) для некоторого графа G. Возникающий таким
образом граф G принадлежит определенному выше множеству 'Si.
Стандартный вывод формулы (8.4.4) исходит обычно из представления единицы
1 = Z/Z по степеням X, которое после сокращений несвязных вакуумных
диаграмм приводит к тому же результату. Если формулу переписать в
терминах диаграмм с не-перенумерованными отростками, то в нее войдет
комбинаторный множитель c(G), как и в (8.3.4). Заметим, что нулевой член
ряда равен
а0 = jj А (ф) dq>c = (8.2.2),
т е. сумме по графам Фейнмана, которые содержат только Л(ф)-вершины.
Диаграммы обладают многими свойствами связности, полезными при описании
диаграмм, дающих вклад в так называемые усеченные средние. Простейший
пример--формулы (8.4.4-5). Другой пример возникает при рассмотрении
усеченного среднего
ABd\i - • J Bd\i^(AB)T (8.4.6)
Из разложений (8.4.3-4) следует, что
<ЛВ)Г= ?
где bt= Yj 1(G).
a^s-J
Здесь мы обозначаем 2?i = 2?i(AB) множество графов, дающих вклад в
интеграл ^ АВ d\i в соответствии с формулами (8.4.3-4).
Множество (АВ) состоит из тех графов, которые связны в
более сильном смысле, чем это определено выше, а именно: по крайней мере
одна их связная компонента должна содержать вершины как из А, так и из В.
Заметим, что при помощи других, более сложных свойств связности можно
определить различные ядра Бете - Солпитера (см. гл. 14) и преобразования
Лежандра.
8.5 Оценки гауссовых интегралов
В двумерном случае виковы полиномы и экспоненты принадлежат пространству
Lp(d($c) для любого р < оо. В случае размерности два (и выше) гауссова
мера d<pc сосредоточена на пространстве обобщенных функций, поэтому
сомнительно, что можно применять поточечные операции, такие, как ф (*)->-
ф (л:)2. В самом деле,
ф(л:)2 = +00 почти всюду по мере йфс, (8.5.1)
(8.4.7)
(8.4.8)
174 Гл. 8. Квантование =; интегрирование
так как
^ :<р (х)2:с dx е L2 (dyc). (8.5.2)
л
В силу асимптотики (7.2.5), в формуле (8.5.2) константа с викова
упорядочения для :ф2:с растет логарифмически при d = 2, так как с = С(х,
х). Но формально
^ Ф (х)2dx - ^ :ф (a:)2: dx + с | Л ].
л л
На самом деле локально интегрируемые функции из пространства 2)' образуют
подмножество нулевой меры в носителе меры dtpc-Это означает, что типичные
реализации для меры dq>c не похожи на обычные функции. Для того чтобы
вести изложение на строгом математическом уровне, введем импульсное
обрезание. Как в § 7.1, возьмем функцию h е Со° (/?2), удовлетворяющую
условиям h(y)^ 0 и ^ h (у) dy - 1, и определим размазанную 6-функцию в
точке хе/?2 формулой
би, * (у) = к21г (к (х - у)). (8.5.3)
После этого определим импульсное обрезание фи поля ф следующим образом:
Фх (х) = ф(6и. *) = ^ Ф (УЖ x(y)dy. (8.5.4)
Мономы Вика от импульсного обрезания фи определяются как ортогональные
полиномы относительно гауссовой меры dcpc¦ В частности, п-я викова
степень поля q>K(x) - это п-й полином Эрмита
[п/2}
*.w=c-2j "-т!?(8-5-5)
где ск(х) = (6Я, х, C6KtX) и
:Фк (/):с = \ Wn;c f W dx- (8.5.6)
Заметим, что, в силу (8.5.4), определения (8.5.5) и (6.3.9) совпадают с
точностью до замены с - ск. В этом можно убедиться при помощи формул
(I.5.I2-16) для гармонического осциллятора. Здесь С может быть любым
ковариационным оператором, принадлежащим множеству 'g'm выпуклых
комбинаций евклидовых про-пагаторов (-Дв + т2)-1 с классическими
граничными условиями и массой m ^ гп\ (см. § 7.9).
Предложение 8.5.1. Пусть С^%?т, а функция f^Lp(R2) для неко-
торого р > 1 имеет компактный носитель. Тогда :ф"(/);с eZ, )
