Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
8.5 Оценки гауссовых интегралов 175
и этот функционал имеет предел в пространстве Z,2 при к-^оо. Пусть
:ср"(/):с обозначает этот предел. Тогда для некоторого б > О при и->-сю
справедлива оценка
II :Ф2(/)-с " :Фл(/):с ||,2 (ЛРС) < 0(*"в). (8.5.7)
Доказательство. Как и в § 8.4, представим интеграл ^ Лрс в виде
суммы nl одинаковых фейнмановских диаграмм, показанных на рис. 8.7. Для
каждой из этих диаграмм
/ (G) = J } (х) Ск (х, у)п f (у) dx dy, (8.5.8)
где
(х, у) = &ИС6И = ^ в" (ж - х') С (х', у') 6К (у' - у) dx' dy'. (8.5.9)
Пусть ? - непрерывная функция с компактным носителем, причем ? = 1 на
носителе /. Обозначим интеграл (8.5.8) 1(0,к). Пусть, кроме того, 6С = С
- CKj. Согласно неравенству Гёльдера и свойству (LR 2) (теорема 7.1.1),
для к = min (j"i, и2) и некоторого 6>0 верно неравенство
| / (О, х,) - / (О, ка) | < const || f \\lp || ?6С? ||v <
< О (х-6). (8.5.10)
Это означает, что .'ф" (/).'с сходится со скоростью 0(и~в) в пространстве
Ьг-
Теперь мы систематизируем использование неравенства Гёльдера, чтобы
применить затем полученные результаты к более сложным диаграммам.
Рассмотрим функцию вида
п
F(x{........хп) = Д /, (xi) П Fi (xit (/), xi2 ("), (8.5.11)
где 1 ^ t'i(/)< i-2(0 Для любого /. Такая функция Z7 соответствует
диаграммам с п вершинами, помеченными индексом i, и некоторым количеством
ребер /, соединяющих вершины с номерами
11 (0 и /г (/). Функции fi либо представляют петли, либо являются
пробными функциями, а соответствуют ковариационному оператору ребра /,
ограниченному на носитель функции /г, "> X /г2(л-Мы будем считать, что
вершины диаграммы упорядочены (при помощи индекса /), а каждое ребро
ориентировано (в направлении от i2(l) к ii(/)). Пусть
Zf = {/: t, (/) = i < i2 (/)}, = {/: h (I) < i = h (/)}
обозначают соответственно множества ребер, входящих в i-ю вершину и
выходящих из нее (рис. 8.8).
Рис. 8.7. Фейнманов-
ская диаграмма для интеграла
^:фх(/) = Сй(Ре-
176 Гл. 8. Квантование = интегрирование
Лемма 8.5.2. В этих обозначениях при условии, что для любого I числа qi,
qi, q связаны соотношением
<7Г1+ Е qjl-q~l,
I е J?°ut
верно неравенство
Доказательство. При помощи подстановки F-*¦ F* все сводится к случаю q ="
1. Применим неравенство Гёльдера поочередно к интегралам по каждой из
пер"-
Рис. 8.8. Упорядочение вершин слева направо; in-ребра выходят из вершины
вправо, а out-ребра - влево. У вершины 1 есть только in-ребра, а у
вершины 4 - только out-ребра.
менных функции F, начиная с i - п и кончая i = 1. При этом l-е
неравенство
имеет вид
П Ifи**. <">*/) I П н(*/-•) iii
R2 /<=* out Ч
hq m II (/>• '^Vq m П IIFl^l4 a?x R'>' *
l e _s?9u* I e jf*n
i I
Теперь рассмотрим интеграл
г
R = ^ w(x) IJ Kf(xt)nt:cdx, x = (xlt ..xr), xt<=R2, (8.Б.12) г-i
и его аппроксимацию при импульсном обрезании
Г
Rx= \ w(x) П :<pM(x{fl:cdx. (8.5.13)
i=i
Теорема 8.5.3. Пусть функция w имеет компактный носитель и ttieLp для
некоторого р> 1. Тогда RK, R е Lq(d<pc) для любого q < оо, причем нормы
\\R^\\l равномерно ограничены по х. Более того, для некоторого е > 0 и
любого целого /
j'^ (R - | </I2"i/2 (const (8.5.14)
Здесь е и константа в правой части не зависят ни от /, ни от оператора
Се?ш; однако эта константа пропорциональна (X "i/2)l и зависит от
носителя функции w.
8.5 Оценки гауссовых интегралов 177
Доказательство. В соответствии с предложением 8.3.1 разложим интегралы ^
r!
н ^ в сумму диаграмм. В этом разложении будет не более [(/?п*) - 1]!!^
^ni/2 (const)^ диаграмм. Константа здесь пропорциональна (? я;/2)!. Мы
оценим вклад 1(0) каждой диаграммы следующим образом. В общем случае
1 (0)=\ (Пw (хft))F(xl.........xl)dxl" ¦dxi'
где ** е i?lr - набор из 2г переменных. Согласно неравенству Гёльдера, |
/ (О) | f Ц w Ц, V 11^ II, причем норму || F ||, можно оценить сверху с
по-
v. L-р) ьр Р
мощью леммы 8.5.2. При этом в качестве функции fi можно выбрать
характеристическую функцию проекции носителя w на плоскость переменной
х;. Функции Ft - это пропагаторы или разности пропагаторов (ограниченные
на supp w), Lp-норма функции Fi ограничена в силу предложения 7.9.1. Для
RH все эти оценки равномерны по х.
Аналогично оценим (R - RxY. В этом случае каждый множитель R - RH можно
записать в виде
R - RH - ? J (П :<р (*,)Я|:с) (:Ф(-*/)Я/ :с " : "Р* (*/)"':<:) X
xf П :ФМ (r) w d*'
\t~j+i /
где
Я(х1)П,'-С-Ях(х1)Я,--С-Т, :<Р (Xl)m~1 {ф (*/) ~ фи (*/)} (*/)"*"" m-•
m = 1
Таким образом, каждый сомножитель R - добавляет к одной из функций Fi
множитель б - бх. Поскольку к каждой из Ft можно присоединить не более
двух таких множителей, б - бх появится по меньшей мере на //2 ребрах. По
теореме 7.1.1 (см. также предложение 8.5.1) || Fi ||^ =SjO(x~e) при
условии, что
Ft содержит множитель б С и имеет компактный носитель. Таким образом, мы
получаем в формуле (8.5.14) множитель |
Следствие 8.5.4. Пусть R(0, 1=1, 2, ..., /, - последовательность
полиномов, удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть числа pi
