Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 65

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 187 >> Следующая

Замечание 5. Из предыдущих рассуждений, обобщая предложение
7.6.1, можно вывести, что ядро ковариационного оператора Дирихле Сг
монотонно убывает при расширении множества Г. Положим
6сг (х) = Пт [С0 (х, у) - Сг (х, у)]. (7.8.17)
Предложение 7.8.5. Если Ti с Г, то
О < Сг (*, у) < Сг, (х, г/)< С (х, у), (7.8.18)
О < tcT (х) < icT W < Iconsl (1 + dlst <*• Г)""') d > 3. ,7.8.19)
I const (1 -f | In dist (x, Г) |) при d = 2.
Доказательство. Нужно установить только верхнюю оценку в неравенстве
(7.8.19). Пусть точка х лежит в ячейче Д решетки, а 6 сг дЛ -
гиперплоскость (ребро) | ближайшая к х. Если 6 cz Г, то верхняя оценка
следует из неравенства (7.6.2),' гак какбсг^бсд. Теперь предположим, что
ребро 6 не содержится в множестве Г, а Л = A U Д' - параллелепипед,
образованный двумя смежными ячейками решетки, так что 6 сг с?Д U с?Д'.
Сдвиги параллелепипеда Л покрывают все пространство Rd\ ковариационный
оператор с граничными условиями Дирихле на 5Л обозначим Сал = CD. (При
подходящем выборе решетки этот оператор CD совпадает с оператором
CD из § 7.5.) Таким образом, если х, jsA, то, в силу
(7.8.18) > СдА (х, у) < Сг (х, у) и 6ст (х) < бсдА (х) при хеА.
Пусть Ь' - "ребро", ближайшее к точке х. Если 6' Л Г Ф 0, то верхняя
оценка, как и выше, следует из неравенства (7.6.2). Если же Ь' Л Г =¦ 0,
то мы построим новый параллелепипед AUA' и повторим предыдущие
рассуждения. В случае, когда точка х лежит внутри А, мы закончим
доказательство самое большее после d шагов. В случае, когда х лежит вне
Л, оно с помощью монотонности по-прежнему сводится к оценке (7.6.2). |
Дополним оценку (7.8.19) оценкой убывания величины бег (х) на больших
расстояниях.
Предложение 7.8.6. Пусть величина бег определена формулой (7.8.17), а
расстояние dist (л:, Г) отделено от нуля. Тогда
0<6cr(*)<0(l)e-2mdist<*. r>/Vd. (7.8.20)
Доказательство. Если dist (х, Г) = г, то точку х можно выбрать в качестве
центра d-мерного куба В со стороной / = 2r/Vd, такого, что В Л Г = 0.
Пусть граница этого куба дБ и ее сдвиги порождают некоторую решетку IV По
предложению 7.8.5 для хеВ имеем 0 < бсг (х) бсГ] (х). Но 6сГ1 выражается
формулой (7.6.3) при х- X/ ^ /. Следовательно,
бсг < О (1) е -2m dist <*, Г)/УТ. |
Предложение 7.8.7. Пусть d - 2. Для любого 1 ^ q ^ оо существует такая
постоянная K=K(q), не зависящая от m ^ 1 и от оператора С е (множество
ковариационных операторов m определено ниже в § 7.9), что для любой
ячейки Д решетки
l\^(x)4LqW<Km-^. (7.8.21)
Доказательство. Изменяя, если нужно, масштаб, можем считать, что m - 1.
Тогда утверждение вытекает из предложений 7.8.5, 7.8.6 и формулы (7.2.2).
|
158 Гл. 7. Ковариационный оператор
7.9 Регулярность оператора Св
Определение. Обозначим 92т выпуклую линейную оболочку ковариационных
операторов, рассмотренных в § 7.1-8, с массой ^ т. Точнее, 92 т состоит
из операторов Св =(- Дв + гДе т\ ^ т
и В = 0, р, D, N или Г. Кроме того, пусть 9?т сz92m обозначает
подмножество тех выпуклых комбинаций операторов, для которых т ^ т\ ^ М.
Мы будем опускать индексы т и М, когда в них нет необходимости.
В этом параграфе будет закончено доказательство теоремы
7.1.1. Резюмируя содержание предыдущих параграфов этой главы,
заметим, что свойство локальной регулярности (7.1.2) и свойство Р1
поточечной положительности (§ 7.1) вытекают из асимптотик (7.2.4-5),
следствий 7.3.2, 7.4.2, 7.5.2 и неравенства (7.8.18). Свойство (Р2)
положительности оператора (§ 7.1) следует из определения ковариационного
оператора Св.
Осталось доказать свойства локальной регулярности (LR1-3) (§ 7.1). В
случае, когда ковариационные операторы с периодическими граничными
условиями Ср исключены из выпуклой суммы С, можно доказать убывание С(х,
у) на больших расстояниях между х и у. Пусть {Дг}-покрытие R2 единичными
квадратами, причем i^Z2 - левая нижняя вершина квадрата ДНапомним, что
/г, 6И и ? были определены в § 7.1.
Предложение 7.9.1. Пусть С^9?т, где масса т отделена от нуля. Тогда для р
<; оо и d - 2
sup || (C?) {х, -)\\L < const, (7.9.1)
X И
II (6ИС6И) (*, х) ||ioo < const In и. (7.9.2)
Если операторы Ср исключены из суммы С, то справедлива асимптотика
(7.1.3) и, кроме того,
sup IIС (ЛГ, -)11г < const,
X р
IIС1Ц (л, х Д/) < const. m~2lPe~m ш <А* д/>,
причем здесь все константы не зависят от С и к.
Доказательство. Все эти оценки следуют из неравенств (7.2.3) и (7.2.5)
для свободной ковариации С0. С помощью разложений (7.3.1), (7.4.1) и
(7.5.1) и поточечной верхней оценки 0 ^ Сг ^ (7.8.18) можно получить
аналогичные не-
равенства для операторов Св, В - р, N или D. Для доказательства оценки
(7.9.4) воспользуемся соотношением (7.2.2). Для С = С0 имеем
(7.9.3)
(7.9.4)
7.9 Регулярность оператора С в >59
( >
С (т; х - у)р dx dy
,тА; X mAj
т~4С (1; х- у)р dxdy
С (1; т(х - у))р dx d,
где m&t = {тх: л:еЛг}. В силу опенок (7.2.3) и (7.2.5), выражение (7.9.5)
ограничено сверху величиной
Для операторов CV и С0 эта оценка получается аналогично с помощью явных
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed