Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ственности решения линейной граничной задачи, Ср является периодической
ковариацией. Щ
Следствие 7.3.2. Периодическая ковариация Ср обладает следующими
свойствами:
(a) Ср -положительный оператор в пространстве Ь21);
(b) 0 < С (х, у) < Ср (х, у) = Ср (у, х);
(c) если произведение m \х - у \ близко к нулю, то
при
I - In (пг \х - у |) при d - 2.
Доказательство. Свойство положительности оператора Ср в пространстве L
следует из того, что после преобразования Фурье оператор Ср становится
оператором умножения на (р2 + m2)-1 0. Свойства (Ь) и (с) вытекают из
формулы
(7.3.1) и предложения 7.2.1 |
*) Этот оператор следует рассматривать в пространстве функций,
определенных на кубе. - Прим. ред.
148 Гл. 7. Ковариационный оператор
7.4 Граничные условия Неймана
Для задания граничных условий Неймана в качестве границы Г рассмотрим
набор гиперплоскостей, разбивающих пространство Rd на периодическую
решетку (как в рассмотренном выше периодическом случае). Область
определения оператора Лапласа -A,v с граничными условиями Неймана состоит
из функций [ (х), у которых нормальная производная df/dn во всех точках
границы Г равна нулю.
С помощью метода изображений получим простую формулу для ковариационного
оператора Неймана См(х, у). Пусть задано у == у0; определим множество
точек {г//}, / = 0, 1, 2, ..., следующими двумя условиями:
1) У о ^ Ы;
2) множество {t//} инвариантно при отражениях относительно любой
гиперплоскости, принадлежащей границе Г.
Пусть Л - связная компонента множества 7?d\r. В соответствии с данным
определением каждая Л = Л/ содержит ровно одну точку У).
Предложение 7.4.1. Пусть m > 0. Тогда для ковариации Неймана справедлива
формула
Доказательство. Так как каждая компонента Л/ содержит только одну точку
yh то применение оператора (-Д" + т2) к правой части равенства (7.4.1)
дает 8(х - у). Далее, выполнение граничных условий Неймана гарантируется
инвариантностью множества {yi) при отражениях относительно
гиперплоскостей из набора Г. Следовательно, правая часть формулы (7.4.1)
равна CN в силу единственности решения линейной граничной задачи. Щ
Теорема единственности может быть использована и для доказательства
симметрии Сц{х, у)=Сы{у, х) в следующем утверждении.
Следствие 7.4.2. Ковариация Неймана удовлетворяет следующим условиям-.
(a) Cn - положительный оператор в пространстве L2\
(b) 0 < С(х, у) < CN{x, у)= CN(y, х), х, у<= А\
(c) если произведение m \х - у | близко к нулю, то
(7.4.1)
\Х~У\ d+2 пРи d^3,
- \xi{m\x - у\) при d = 2.
7.5 Граничные условия Дирихле 149
7.5 Граничные условия Дирихле
Определим оператор Лапласа Аг с граничными условиями Дирихле на Г, взяв в
качестве его области определения набор функций f{x), которые обращаются в
нуль при хеГ. Другими словами, -Аг есть расширение Фридрихса (см. [Kato,
1966]) оператора -А, ограниченного (как билинейная форма) на С°°-функции
с носителем в Rd\T. Пусть Ст - (-Аг +т2)-1. Случай множества Г общего
вида будет рассмотрен в § 7.7-8, а здесь мы ограничимся таким Г, которое,
как и выше, является набором гиперплоскостей, разделяющих Rd на
периодическую решетку. Пусть Cd- ковариационный оператор Сг в этом
специальном случае.
Применив метод изображений, мы получим для Cd явную формулу. Пусть {у/}-
множество изображений, использованное выше при изучении оператора Cn, а
точка у-, получена из у = у0 при помощи е/ отражений относительно
гиперплоскостей из Г. Заметим, что (-1)Е/ не зависит от выбора
последовательности отражений.
Предложение 7.5.1.
!оо
ДыГ'С^-!") при МЕА, (751)
О при х <= Л, у <= Л' Ф Л.
Доказательство. Множители (-1)Е^ выбраны так, чтобы сумма (7.5.1)
обращалась в нуль при х е <5Л. Поскольку каждое множество Л/ содержит
только одно у,, применение оператора -До + га2 к сумме (7.5.1) дает 6{х -
у) для любой точки х из внутренности Л. В силу единственности решения
линейной граничной задачи, правая часть (7.5.1) равна CD. ?
Следствие 7.5.2. Для ковариации Дирихле справедливы следующие
утверждения:
(a) Cd - положительный оператор в пространстве L2;
(b) 0 ^ Со (х, у) = CD (у, х) < С (х, у);
(c) если произведение m \х - у \ близко к нулю, то
с Ах. i/l-f1*-91""1 лри i>X
I - In (m ]х - у |) при d - 2.
Доказательство. Свойство (а) следует из того, что оператор С0 является
обратным к положительному оператору -До + га2. Локальная
регулярность (с) следует из равенства (7.5.1). Для доказательства
свойства (Ь) воспользуемся прин-
ципом максимума: функция f(x), непрерывная в ограниченной замкнутой
области Q и удовлетворяющая во внутренности Q уравнению (-A+m2)f(x) = О,
достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума на
границе (3Q. Пусть ?2 = Л - связное подмножество ^\Г. Для точки у ^ А
положим f(x) =С(х,у)-Со(х,у). Поскольку на границе дА функция f(x) = =
С(х,у) положительна, ее минимум не может быть ни отрицательным, ни
нулевым, т. е. f(x) >0. Это рассуждение доказывает верхнюю оценку в (Ь).
Нижняя оценка для у е дА очевидна, так как в этом случае CD(x,y) = 0.
