Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
формул, а для Сг с помощью поточечной верхней оценки. В
Доказательство теоремы 7.1.1 сводится теперь к проверке свойства (LR2),
для которого существенна оценка дробных производных С в классе Ll°c. Эта
оценка является более тонкой, потому что ее нельзя вывести из поточечных
верхних оценок.
Теорема 7.9.2. Пусть С е где масса m отделена от нуля,р<С. оо, a d = 2.
Тогда для некоторого в > 0 и щ ^ х2 справедливо неравенство
при щ -> оо, причем постоянная не зависит от оператора С, но зависит от
значений р, е, Si и ?г-
Замечание. Для данной функции ? е Со° выберем функцию ?i е Со° равной 1 в
окрестности носителя 5- Тогда для достаточно большого к справедливо
соотношение ?6ИС = ?6*^1 С. При доказательстве свойства (LR2) мы выберем
значения параметров х, стоящих в (LR2) по обе стороны от оператора С,
независимо. Тогда
так что свойство (LR2) следует теперь из теоремы 7.9.2.
Доказательство для р = 2, С - С^. В этом случае операторы би и С
коммутируют, поэтому утверждение теоремы содержится в двух следующих
леммах. Напомним, что норма Гильберта - Шмидта II A ||Hs оператора А -
это норма его ядра в пространстве L1} для которой выполняется неравенство
IIАВ ||Hs ^
= const m
'2 i'Lp (Jtr X R2)
e
II = || (бИ| 6"2) ? ||^ ^
< const || &C (6*. - бИ2) I \\Lp!
<МП IIBIIhs. I
Лемма 7.9.3. Пусть С = C0. Тогда при 0 sg: а ^ 1/2
160 Гл. 7. Ковариационный опеоатор
Доказательство. Норма оператора Са (6И1 - бИ2) совпадает с Loo-нормой
преобразования Фурье его ядра. Вычисления с использованием определений
(7.1.4-5) показывают, что эта норма равна sup (р2 + 1)-а| h (p/Ki) - h
(р!и2) !•
p
Для |p | xi, подставляя, получим
\fi(p/xi) - К(р/хг)\ < 0(1) \p/xi\2a, (7.9.6)
а для |p| ^ Xi аналогично
\П(р/ул) -К(р/ть)\ s?0(l). (7.9.7)
Константа 0(1) зависит от h, но h фиксировано. I
Лемма 7.9.4. ПустьС - С(r) и А = С%. Тогда для а > 1/4 оператор А*А
является оператором Гильберта - Шмидта, так же как и сам оператор А при
а> 1/2.
Доказательство Имеем || A* A ||Hs = II ?C2<1?; || Hs =? 1Ш1 П C2at,
||Hs. Преобразование Фурье ядра оператора С2"? равно (р2 +
1)_2о?(р- Я), и. следовательно, при
а > 1/4 ядро принадлежит пространству L2(/?4).
Доказательство теоремы 7.9.2 для р - 2, С = Ср, Со или Си- Так как
функция имеет компактный носитель, можно рассматривать вместо С оператор
%л С/л Пусть
в 1 \ ( 2 I ,\_)/2+У/ 2 , . \- J/2+V
Fy(p) - (Pi "Ь 1) (Р2+!) >
a C(p,q) обозначает преобразование Фурье ядра оператора Хл^Л-
Доказательство теоремы содержится в следующих двух леммах.
Лемма 7.9.5. Для любого у > О
I С (р, q) |< const F у (р) Fy (q).
Доказательство. По условию ядро С есть сумма сдвигов и отражений ядра
оператора С0. Пусть С/ - один член из этой суммы. Сдвиги по
пространственной переменной х никак не влияют на |С,|, а вот отражения
соответствуют преобразованию р -*¦ - р. Умножению на характеристическую
функцию %л в преобразовании Фурье соответствует, как известно, свертка с
Хд, причем | Х\ |<а const F^t Поэтому
I С] К const ^ Fy (р - г) (г2 + 1)_2^Y (г - q) dr <
< const F2y (p) F2y (q). (7.9.8)
Для того чтобы получить оценку, обеспечивающую сходимость суммы по /, мы
поступим следующим образом. С помощью тождества С@(х, у) - const g(\x -
у\) и представления (7.2.6) для функции g легко показать, что при больших
значениях разности \х - у] все производные ядра оператора С0
экспоненциально убывают на бесконачности. Поэтому С;- (х, у) = %Л (х) Vj
(х, у) хл (у), где
| Vf (г, s) |< const (1 + г2 4- s2)~n е 0(di3t (л> у}))
при любом конечном п. После этого (7.9.8) можно изменить так, чтобы
последняя константа стала экспоненциально малой по сравнению с константой
в неравенстве (7.9.8). Теперь для завершения доказательства осталось
только просуммировать по /. g
7.10 Положительность при отражениях 10!
Лемма 7.9.6. Для любого у >> 0 справедлива оценка
II ХдсХл (6и, ~ аи2) ^ llHS < const xf1/2+v.
Доказательство. Пусть с обозначает преобразование Фурье ядра оператора
%лсХл (ви, - ex2) ?¦ в СИЛУ (7.9.6), (7.9.7) и леммы 7.9.5,
| с\ < const Fy (р) ^ Fу (г) | k (r/xj) - h (г/х2) 1? (г - q) dr <
< const (p) jj (r)1^0 xf1" (1" v) (| r - |2 + l)~2 dr <
< const (p)Fy(q)l~a^a(l-4K
Выберем a< 1/2, (1 - a)(l- y) > 1/2; тогда || с ||i2 = О (xf0 (1_8)), что
и доказывает лемму. |
Доказательство теоремы 7.9.2 для р = 2, С = Ог. В рассматриваемом случае
О С < С0, поэтому 0 ^ 1. Введем операторы
А = S,c^2c->/2 сс-1'2, в = с^2 (6Х1 - 6ИЗ) 5.
Так как ЦЛВ fjS = Тг (ЛВ)* АВ = ТтВ*А*АВ = Тг А*АВВ* <
< (Тг (ЛМ)*)1'2 (Тг (В'В)*)1'2 = || ЛМ||НЗ || В* JSJhs ,
ТО
II (бХ1 - eXl) ? IIhs = IIАВ IIhs < I А* А |[^| | В*В ||*/2.
По леммам 7.9.3 и 7.9.4 для любого в > 0 верно неравенство || В*В |HS ^ ^
const xj~ 1/2+е> и аналогично, в силу леммы 7.9.4,
II A*A IIhs < || С^СС^2 f || cf$Cf ||HS < j[ S1C0g1 ||HS < const. |
Доказательство теоремы 7.9.2, общий случай. Для того чтобы доказать
теорему для р = 2 и произвольного С, достаточно рассмотреть выпуклую
сумму оценок, полученных для С = Сг; тем самым общий случай сводится к
