Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
справедливо модифицированное свойство положительности при отражениях (см.
§ 7.10).
Доказательства этих теорем будут изложены в этой главе. В частности, §
7.9 посвящен свойству регулярности, а § 7.10 - свойству положительности
при отражениях.
7.2 Свободная ковариация
Простейший ковариационный оператор - это так называемый голый евклидов
пропагатор или свободный ковариационный оператор С - С 0. Он совпадает с
функцией Грина уравнения (7.1.1) и может быть определен с помощью
преобразования Фурье
С (х, у) - С(х - у) = (2л)~й ^ е-*р(*-г/)(р2 -f m2)~1 dp. (7.2.1)
Зависимость С от m видна из равенства С(т\ х - у) - md-2C (1; т(х - у)) =
= (2 пГа12 (т-^г)('<-2,/2 2)/2 (т\х-у\). (7.2.2)
Здесь /<v (х) > 0 - модифицированная функция Бесселя; с точностью до
множителя она совпадает с функцией Ганкеля от мнимого аргумента (см.
[Erdelyi et al., 1953]). При d = 3
С (х - у) = --г-^---е-т\х-и\
' 31 4я | х - у |
Многие свойства ковариационных операторов могут быть выведены из (7.2.2)
и известных свойств бесселевых функций, таких, как характер особенности
при \х - */|->0, экспоненциальное убывание при т\х - у|->оо (см. (7.1.2-
3)) и т. д. Однако мы предложим прямые доказательства, основанные на
методах, которые имеют широкое применение.
Предложение 7.2.1. Свободная ковариация С(т; х - у)= С (х, у) = = С(х -
у) обладает следующими свойствами:
(a) С(х, у) является ядром положительного оператора, действующего в
пространстве L2;
(b) С (х, у) > 0;
146 Гл. 7. Ковариационный оператор
(c) если произведение tn\x - у\ отделено от нуля, то
С(х, у) ^ О (1) m(d~3)/2\х - у r(d-I)/2exp(- m\х - у |); (7.2.3)
(d) если d ^ 3, а произведение т\х - у\ близко к нулю, то
С(х, у)~\х-у\-*+*; (7.2.4)
(e) если d - 2, а произведение т\х - у| близко к нулю, то
С{х, у)--------Щт\х - у\). (7.2.5)
Доказательство. В силу (7.2.2), мы можем считать, что m= 1. Свойство (а)
доказывается с помощью преобразования Фурье: (/, C})Li = ^ (р2 + l)-1|f
(я) |2 dp
Rd
Определим g{t) формулой
ОО
О < g (t) зз ^ е ^р,-1 dp = ^ du> ^ dk. (7.2.6)
Rd-1 о
Здесь р ^ Rd~l, |р| =4eJ?, ц = ц(А) = (fe2+l)1/2, a dco означает
интегрирование по переменной р/й no (d - 2)-мерной единичной сфере
(т. е. интегрирование по угловой переменной). Применяя
интегральную формулу Коши для
частичного вычисления обратного преобразования Фурье (7.2.1) (т. е.
интегрируя вдоль вектора х-у), получим равенство С(х, у) =
{2n)~d+l2~lg{\x- у |), из которого следует (Ь).
Оценки (с) - (е) можно установить следующим образом. Для достаточно
малого е > 0 справедливо неравенство
Г При !?!$!' (7.2.7)
(,1+е|й| при |й|>1.
Поэтому ^
g (t)^ const ^ e~tek,kd~2 dk + ^ e~tekkd~2 dk'j <
< const e~1)/2 + /-(rf-1"). (7.2.8)
Для значений t, отделенных от нуля, имеем
g(t) sg const (7.2.9)
откуда и вытекает утверждение (с).
Для изучения локальных особенностей функции g произведем замену k2 = __
так чхо
td-2
¦ (/) = | S'*-2 I jj exp [-5(1+ t2s 2)U2]sd 3(l + t2s~2) 1/2ds. (7.2.10)
В случае d 3 интеграл (7.2.10) ограничен своим значением при / = 0 и
td~2g(t) монотонно сходится при /->0 к этому ненулевому пределу. Поэтому
g(t) ~ t~d+2 при /->0, и свойство (d) установлено. Если же d = 2, то,
написав s = /ц, получим, что при t-*¦ 0
ОО
a (0 = ^ "~s ("2 - t2)~ll2ds-----------In /, (7.2.11)
t
7.3 Периодические граничные условия 147
и этим завершается доказательство предложения. (В самом деле, используя
соотношение IS"-1! = 2л/'/2/Г(п/2), получим значение постоянной а в
(7.1.2) при d ^ 3, а в случае d - 2 значение а = 1/2я получается из
(7.2.11). Постоянная в (7.1.3) находится совершенно аналогично путем
анализа констант в соотношениях (7.2.8-9).)
7.3 Периодические граничные условия
Рассмотрим периодические граничные условия с периодом L == = (Z-i, ...,
La), Lj^Z+. Тогда функции f из области определения оператора Лапласа Ар
удовлетворяют равенству f(x) = f(x + nL), где nL- {tijLj-. j- 1, 2, ...,
d} e Zd. В случае d = 2, например, граничные условия задаются на
совокупности Г ребер решетки, лежащих на границе конгруэнтных
прямоугольников L\ X ?2, которые образуют "паркетное" покрытие плоскости
R2.
Предложение 7.3.1. При т > 0 для ковариации, отвечающей периодическим
граничным условиям, справедлива формула
Ср(х, у)= Z C{x - y + nL). (7.3.1)
nL<=Zd
Бесконечный период L,- = оо означает отсутствие граничных условий в
направлении /-й координатной оси. Ряд (7.3.1) расходится при m - 0, а
основанные на нем оценки неравномерны при mLj-+ 0. По этой причине мы
предполагаем, что mLj отделено от нуля. То же ограничение вводится при
рассмотрении ковариационных операторов с граничными условиями Дирихле и
Неймана.
Доказательство. Ряд сходится экспоненциально в силу оценки (7.2.3). Как
видно из (7.3.1), сумма Ср является периодической функцией. Каждый куб
укрупненной решетки (т. е. вымощенной кубами с ребром L) содержит
единственный вектор nL. Поэтому (- Д + ш2) Ср - ^ 6 (л; - у + п^).
Следовательно, в силу едии-
nL
