Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 54

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 187 >> Следующая

(6.4.6)
tfosc = - J d2/dq2 + mq d/dq.
(6.4.7)
(6.4.9)
Доказательство. Имеем
6.4 Каноническое квантование 131
Поэтому
exp (ф (s)) ds j Т (t) = lim (е~Мп) v (ф (0"Г (т))' (6.4.10)
Но [(*-""" У <*<°"Г (</n))T = (e~"ln) V (q)e-W Hf. В силу формулы
(3.2.4), правая часть п -> оо стремится к e~l(H+v'>. Левая же часть в
пространстве 8 поточечно сходится к (6.4.10). |
Далее, пусть Q(q)- вектор основного состояния оператора Я + V в
представлении, в котором Я1 = 0. Тогда (Я + V)?2 = EQ. Положив
Р = - +imcl - 1 (6.4.11)
получим, что операторы р и q задают представление канонических
коммутационных соотношений в пространстве L2{R, Q2dv) и являются
самосопряженными. Мера
г t
d\i = lim Z (t)~'exp
- $V(<7(s))dsjd<Pc (6.4.12)
тоже определяет представление канонических коммутационных соотношений.
Этой мере отвечает гамильтониан H-\-V - Е.
Заметим, что в случае системы с одной степенью свободы при заданных
канонических коммутационных соотношениях операторы
Ф (ty -e~tHqetH, (6.4.13)
q(t) = eltHqe~itH (6.4.14)
связаны при помощи аналитического продолжения t-*-it, а операторная
функция (6.4.14) удовлетворяет уравнению
q(t) = p(t)/m = eitH[iH, q]e~itH
(полагаем, что ft - 1). Продифференцировав дважды, получаем уравнение
Ньютона
mq(t) = F(q(t)),
где F(q) =-[iV,p] - -dV/dq, a V - полная потенциальная энергия
(являющаяся функцией q).
Теперь обобщим эти идеи применительно к квантовым полям, опираясь на
анализ свободного поля, проведенный в § 6.2 и 6.3. Конструкцию
физического гильбертова пространства Ж = S+IJf из § 6.1 можно упростить,
по крайней мере на формальном уровне. Для свободного поля пространство Ж
является 2,2-пространством, состоящим из функций от пространственной
переменной хе/?4'1, взятых в момент времени t = 0 (§ 6.2). Следует
ожидать, что
132 Гл. 6. Теория поля
аналогичное утверждение справедливо в случае полей Р(<рЬ 11 при d ^ 4.
Соответственно примем, что
Ж = L2{9',{Rd-l),dv), (6.4.15)
где dv - мера на 9'(Rй~х), являющаяся ограничением евклидова вакуумного
вектора й и меры d\i. Поэтому
J/Чф) dv = Z~ll\F (ф) ё~Л1 щ d<pc = \F (ф) dp, (6.4.16)
где Z - нормирующий множитель, a Mj (ф) - К ^ : ф4 (х): ddx (с
соответствующими контрчленами; см. § 9.4, 14.3). Формально мы сделаем еще
один шаг и перепишем гауссов интеграл по dye в виде плотности по
лебеговой мере на 9'(Rd), и для нового нормирующего множителя Z получим,
что
dji"=Z-le_*(<p> П dq>(x), (6.4.17)
где
-5^(ф)= ^ ••( у Уф2(л:) -f^-rnVW + lq>l(xj):ddx. (6.4.18)
Классическое поле ф4 (в пространстве Минковского) является решением
нелинейного гиперболического волнового уравнения
-Пф + /п2ф + 4А,ф3 = 0. (6.4.19)
Решение ф однозначно определяется данными Коши
Ф | t=o, <5<ф = ф|<=0. (6.4.20)
Таким образом, множество пар функций ф]?=о, <Зф/с^|<=о является
пространством состояний классической нелинейной системы, описываемой
уравнением (6.4.19). При этом конфигурационным пространством будет
множество функций ф|*=о (конфигурации поля, отвечающие нулевому моменту
времени). Точный класс функций Ф | f=0 не определяется из этих
соображений, но с точки зрения функционального интегрирования, как это,
например, требуется для представления (6.4.15), по существу нужно только
то, чтобы этот класс 5ыл достаточно обширным. Запас обобщенных функций
9'(Rd~l) очень богат и, как оказалось, достаточен для наших целей.
Квантовое иоле ф - это оператор умножения, действующий на функции от
конфигураций классических полей. Канонически сопряженный с ним оператор
импульса п - это генератор унитарной группы, порождаемой сдвигами ф(л:)->
ф(х) + g(x) в пространстве классических конфигураций.
Так как операторы ф и п = -/б/бф + /(ф) образуют полное множество
наблюдаемых, через них можно выразить гамильтониан Н и меру dv =
d\i,\9"(Rd~x). Мы уже решили в § 6.2 эту задачу
6.5 Фермионы 133
для случая меры dy>c свободного поля и, в частности, в теореме 6.3.7 для
гамильтониана Я0 этого поля. При этом (6.4.16) превращается в формулу
Фейнмана - Каца для возмущения гамильтониана Н0. Для того чтобы пояснить
эту связь, напншем ф = ср(0 (опуская зависимость ф от х е J?w) и положим
^/(ф(0) =
== к ^ : Ф4(х): dd-~lx,
со О
S&, (ф) = ^ S0.J (ф (/)) dt + ^ (ф (/)) dt.
О - оо
Пусть Q0 - основное состояние оператора Н0, а й-основное состояние
оператора Н = Н0 + s4-j (ф (t = 0)). Тогда из (6.4.16) и формулы Фейнмана
- Каца (§ 3.2-4) следует, что
^ F (ф) dv - ^ F (ф) ="
St, (ф(/)) С?фс =
= lim Z_1 (exp [- / (Я0 + si-j (ф (/ = 0)))] й0,
t->oa
F (Ф) exp [- t (H0 + (Ф (t = 0)))] Q0) = <Q, F (Ф) Q).
Таким образом, вакуумный вектор, абстрактно определенный при помощи
теоремы реконструкции из § 6.1, совпадает с основным состоянием Q
гамильтониана Н, заданного формулой Н =*
= ^ Ж (х) dd~lx, где
Ж (х) = : (4 л (х2) + j V<p (х) + \ т2ф (х)2 + Яф (х)4):.
Аналогично, динамика, абстрактно определенная в § 6.1, задается
гамильтонианом Я, что находится в соответствии с результатами гл. 3.
6.5 Фермионы
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed