Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 57

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 187 >> Следующая

еще иметь несколько параметров размерности длины, что бывает, как мы
знаем, в Р(ф)2-теориях. Когда же все эти параметры, за исключением
корреляционной длины, полагают равными нулю, получается то, что
называется скейлинговым пределом.
. Проиллюстрируем эти-" идеи хорошо известными одномерными примерами.
Решеточная теория описывает случайное блуждание, в то время'ТШГее
непрерывный предел, т. е. одномерная теория поля, есть непрерывный
стохастический процесс, у которого инфи-нитезимальный оператор совпадает
с оператором гармонического или ангармонического осциллятора. Один
параметр размерности длины -это корреляционная длина, а второй
определяется максимальным расстоянием, при котором процесс подобен
гауссову. Если второй параметр положить равным нулю, то получится
скейлинговый предел, см. [Isaacson, 1977]. Этот процесс не является
гармоническим (гауссовым) при произвольном значении масштаба длины, но
гораздо проще, чем процесс, соответствующий ф!-ангармоническому
осциллятору. На самом деле это пуассонов процесс. Его генератором служит
матрица размера 2X2.
В случае размерности 2 скейлинговый предел модели ф d можно рассматривать
как обобщение пуассонова процесса. Так же как последний служит для
описания случайных событий (точек или интервалов между ними) на прямой,
так и скейлинговый предел модели ф^ должен описывать случайные события
(связные множества) в пространстве Rd. Считается, что эта модель теории
поля совпадает со скейлинговым пределом модели Изинга в критической
точке. При d = 2 эта гипотеза была полностью установлена при помощи
изящных асимптотических вычислений; см. [McCoy, Tracy, Wu, 1977].
Для предельных переходов (6.6.1-2) критическая точка является гауссовой
(называемой также канонической или тривиальной) в том и только том
случае, когда соответствующая модель теории поля гауссова (т. е. поле
свободно, см. § 6.2-3). Поэтому задачу о существовании нетривиальных
квантовых полей можно переформулировать как задачу построения
скейлингового предела в нетривиальной критической точке. Мы обнаруживаем
глубокое единство математических структур этих двух теорий - теории
квантовых полей и теории критических точек, которое проявляется в столь
далеких областях физики.
Существование квантовых полей доказано для многих двумерных моделей, а
также для фд-взаимодействия (d = 3). Вдобавок была подробно изучена
структура этих моделей, а в некоторых
6.6 Взаимодействующие поля 139
особенно удачных случаях проверены аксиомы Вайтмана, доказана
нетривиальность S-матрицы, асимптотическая полнота и суммируемость по
Борелю рядов теории возмущений, наличие фазовых переходов и неравенства
для критических индексов.
Для (^-взаимодействия получен ряд частных результатов, связанных с
вопросом существования поля (см. [Glimm, Jaffe, 1974d, 1975с]).
Фактически равномерная по е оценка перенормированной двухточечной функции
завершила бы доказательство. В свою очередь эта оценка есть следствие
некоторых гипотетических корреляционных неравенств. В фгтеориях
необходима перенормировка константы связи. Это означает, что в лагранжиан
входит член Яф4 с параметром Я = Я(е), зависящим от е. По мере изменения
е структура решеточной критической точки может меняться, и, в частности,
значение параметра длины, при котором имеется нетривиальное критическое
поведение, тоже может измениться. При X = 0 критическая точка (как и вся
теория) гауссова, а для фиксированного е при X = оо решеточная теория
совпадает с моделью Изинга. Пусть ЯфИЗ(Я, е)- физическая константа связи,
определенная, например, как в гл. 14. В случае если
Пш 8ирЯфИЗ(Я, е) = О,
е->0 А > О
может получиться лишь тривиальная ф|-теория поля. В противном случае
можно ожидать, что будет построена нетривиальная теория. В настоящее
время доводы в пользу того, что теория тривиальна, выглядят более
сильными, однако существующие методы вряд ли позволят дать определенный
ответ на этот вопрос. Все эти доводы применимы в равной степени и к
четырехмерному полю Юкавы, и к электродинамическому (КЭД) взаимодействию.
Если бы все эти поля были тривиальны, то это означало бы, что
ультрафиолетовое обрезание, возникающее из-за кварковых взаимодействий,
существенно для теории протонов, фотонов, мезонов и электронов как
элементарных частиц. Поскольку экспериментально установлено, что протоны
и мезоны не являются элементарными частицами, а составлены из кварков и
калибровочных полей ("глюонов"), то такое ультрафиолетовое обрезание,
например, применительно к радиусу протона, не может повлиять на
экспериментальные данные.
Большая часть современных работ, в которых рассматривается проблема
существования в случае размерности d = 4, посвящена калибровочным
теориям. Как с математической, так и с физической точки зрения эти поля
обладают двумя преимуществами. Первое из них называется асимптотической
свободой и означает, что поведение поля на малых расстояниях почти
гауссово, как для ангармонического осциллятора ф4, в отличие от
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed