Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пуассонова процесса. Вторым преимуществом считается явление, которое на-
140 Гл. 6. Теория поля
зывают удержанием (неразлетанием) кварков; оно приводит к мысли о том,
что соответствующая критическая точка появляется при нулевой температуре,
как и во многих одномерных процессах.
В духе современной дифференциальной геометрии классическое калибровочное
поле определяется как форма связности на главном расслоении. Другими
словами, калибровочное поле представляет собой (локально) векторнозначную
функцию со значениями в алгебре Ли, преобразующуюся как ковариантный
вектор.
Такое поле А порождает 2-форму кривизны
F=*DABsdA + AAA, (б.б.З)
где D-ковариантная производная, определенная полем А. При этом действие
поля равно
F2(x)dx, (6.6.4)
и задача квантования состоит в том, чтобы определить подходящую меру на
пространстве связностей, формально пропорциональную мере
dn = e-^J[dA(x). (6.6.5)
X
Заметим, что (6.6.5) не гауссова мера, потому что действие (6.6.4) не
квадратично относительно А. Классические калибровочные поля являются
решениями уравнения Янга - Миллса
D*F = 0. (6.6.6)
Это уравнение есть уравнение Эйлера для действия S&, т. е.
оно
получается приравниванием нулю первой вариации 8s?. В § 20.9
мы продолжим обсуждение этого вопроса.
Из сказанного видно, что существование квантовых полей в случае
размерности d - 4 остается открытой проблемой как с математической, так и
с физической точки зрения. Если можно, экстраполируя прошлое, предсказать
будущее, то мы вправе ожидать, что дальнейшие усилия в решении этой
проблемы приведут к интересным математическим структурам и более
глубокому пониманию математики и физики в системах с бесконечным числом
степеней свободы.
Литературные ссылки
[Bjorken, Drell, 1964-5], [Kastler, 1961 ], [Schweber 1961], [Боголюбов,
Ширков, 1959], [Thirring, 1958], [Itzykson, Zuber, 1980], [Березин,
1965].
Насть II
Функциональное интегрирование
В части II приведено замкнутое изложение конструкции некоторых
негауссовых мер в пространстве функций. Построенные примеры удовлетворяют
аксиомам гл. 6 и определяют нелинейные квантовые поля. Изложение
развивается в логическом порядке. Общие концепции, представляющие широкий
интерес, перемежаются со специальными техническими приемами, характерными
для этих построений. 1\ первым относятся диаграммы Фейнмана, теория
возмущений и анализ в функциональном пространстве. Эти вопросы
рассматриваются во вступительных частях гл. 8-10, и их можно изучать
независимо от остального материала. Некоторые технические аспекты
приведенных здесь построений являются новыми; в особенности прием
многократных несимметрических отражений в гл. 10 и 12.
Технические оценки изложены в части II применительно к случаю бозонных
взаимодействий P(cp)d=2- Однако оценки вакуумной энергии (гл. 8)
обобщаются с помощью перенормировок на случай моделей q^=3 и Юкавы^г, з-
Формально эти оценки справедливы для всех сверхперенормируемых
взаимодействий. Остальные методы, представленные в части II, -
многократные отражения и монотонность- не зависят от размерности. Методы
многократных отражений и оценки, равномерные относительно объема области
взаимодействия, обобщаются на случай частиц со спином. Однако свойства
монотонности и приведенное нами доказательство сходимости в предельном
переходе к бесконечному объему (т. е. свойства, основанные на
корреляционных неравенствах) не распространяются на случай произвольного
спина. В гл. 18 сходимость поля в этом предельном переходе для некоторых
значений констант связи будет доказана другим методом, уже не зависящим
от спина частиц.
142 Гл. 7. Ковариационный оператор
Глава 7
Ковариационный оператор
= Функция Грина = Ядро резольвенты = Евклидов пропагатор =
Фундаментальное решение
7.1 Введение
Ковариационные операторы С гауссовых свободных полей, введенные в гл. 6,
часто появляются в самых разнообразных задачах. Ядра этих операторов
С(х,у) характеризуются тем, что являются решениями уравнения Лапласа
(_Д + т2)С(х, у) = Цх-у). (7.1.1)
Основные свойства ковариационных операторов - евклидова инвариантность,
OS-положительность и регулярность - формулируются так же, как аксиомы §
6.1. Так как ядра С(х, у) являются функциями класса С°° всюду, за
исключением диагонали х - у, их регулярность выражается в степенной
асимптотике при малых и больших значениях х - у. Если m\х-у| мало, то
Г а\х -
С{х,у)~\ 1 . , . .. ' , . (7-1.2)
{ - ~^\п(т\х - у\) при d = 2,
где константа а = a(d) равна
a = [(d - 2)| S^-11 -1] = 4_1я_й/2Г ((d - 2) /2).
ОО
Здесь |S"| обозначает объем "-мерного шара, аГ(") = | e~'its~{dt -
о
гамма-функцию. Например, а(3) = (4я)-1, а(4) = (4л2)-1 и т. д. Если же т
\х - у \ велико, то
С {х, у) ~ (y)I/2 (2n)"d/2 m(d_3,/2 \х - у Г(<г_1,/2ехр {- т\х - у\).
(7.1.3)
Те же самые свойства - инвариантность, положительность и регулярность -
справедливы (или предполагаются таковыми) для двухточечной корреляционной
функции взаимодействующего поля, с той лишь разницей, что показатели при
