Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 55

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 187 >> Следующая

В зависимости от спина и статистики частицы делятся на две группы.
Электроны и кварки имеют полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми -
Дирака; они называются фермионами. То же самое относится к связанным
состояниям, составленным из нечетного числа фермионов, таким, как
протоны, нейтроны или ядра Н3. Фотон имеет целый спин и подчиняется
статистике Бозе-Эйнштейна, так же как и связанные состояния, составленные
из четного числа фермионов, как, например, мезоны (в теории кварков и
глюонов), ядра Н2 или куперовы пары электронов в сверхпроводнике. Такие
частицы называются бозонами. В § 6.2, 6.3 мы описали свободное поле
Клейна - Гордона, преобразующееся по представлению группы Лоренца с
нулевым спином и подчиняю-
184 Гл. в, Теория поля
щееся бозе-статистике. Здесь мы опишем квантование свободного поля
Дирака, преобразующегося с помощью (двузначного) представления группы
Лоренца со спином 1/2 и подчиненного ферми-статистике.
В этом параграфе изложены две важные конструкции. Первая- построение
фермионного пространства Фока и представления канонических
антикоммутационных соотношений, а вторая - введение античастиц как способ
избавиться от состояния с отрицательной энергией при квантовании
уравнения Дирака. Само уравнение Дирака приводится в § 15.3.
Для данного гильбертова пространства ?Fi пусть ЗГп обозначает
антисимметрическое тензорное произведение п экземпляров ?Гь
9-" = А"(r)п9-и (6.5.1)
где Ап - антисимметризующий проекционный оператор. Тогда фер-мионное
пространство Фока образуется как ортогональная сумма
оо
^ = Е 8Гп. (6.5.2)
п-0
Векторы из подпространства ST п cz ST задают "-частичные состояния.
Обычно 2F1 - это /^-пространство векторнозначных функций, определенных на
R или Rd~l со значениями в Cv при некотором v. Тогда п - это пространство
векторнозначных функций на Rnd (со значениями в Cnv), компоненты которых
принадлежат пространству L2(Rnd) (или пространству L,2(Rn<-d~l))) и
которые антисимметричны при перестановке аргументов. Операторы рождения и
уничтожения определяются так же, как в (6.3.5Ь), с той разницей, что 5л+1
надо заменить на Ап+\. В лоренц-инвариантной теории свободного поля
группа Лоренца (а также евклидова группа)
действует в пространстве ?F и в каждой его компоненте Sfn при
помощи тензорного произведения преобразований, определенных в
одночастичном пространстве &~\. Другими словами, закон преобразования n-
частичного состояния определяется независимым действием преобразований на
каждую из частиц этого состояния так, как это предписано правилом
преобразований одночастичных состояний в дГ\. Конечномерное пространство
О называется спиновым пространством. В нем действует представление группы
SU(2) (которая является накрывающей группы пространственных вращений
0(3), содержащейся в группе Лоренца). Это представление определяется
размерностью v, а спин равен (v-1)/2. Для скалярных бозонных полей § 6.2,
6.3 v = 1 и спин равен нулю. У фотонов спин равен единице (v = 3)!)-
•) Точнее, спин поля равен (v* - 1)/2, где v* ^ v - наибольшая из
размерностей неприводимых компонент представления группы SU(2) (или
0(3)), входящих в представление группы Лоренца в Cv. Так, в случае поля
фотонов у = 4, а у* = 3. - Прим. ред.
6.5 Фермионы 135
Как мы видели выше, свободное поле полностью характеризуется своим
одночастичным подпространством &~i, статистикой и группой инвариантности,
действующей в ЗГ\. Теперь перейдем к явному построению. Операторы
уничтожения и рождения а и а* определим формулами
a(g)f(x 1, *"+i) = ("+ l)ll2An+1g(xn+l)f (*" .... хп),
1/2 р--_ (6.5.3)
a(g)f(x,........хп_1) = п1 ^g(xn)f(xi, ..., xn)dxn.
Здесь ge^i. В частности, f и g для каждого переменного
Xj имеют спиновый индекс (подразумеваемый и в (6.5.3)), а интегрирование
^ ... dxn содержит суммирование по этим индексам.
При помощи непосредственных вычислений доказываются антиком-мутационные
соотношения
{a (f), a (g)}^ {a*(f), a* (g)} = 0, (6.5.4а)
{a(f), a*(g)} = (f, g), (6.5.4b)
где скалярное произведение берется в пространстве SFи
<ЛЬ a(f)A2> = (a*(f)A\, Л2), (6.5.4с)
где скалярное произведение берется уже в и А\, Л2е?Г. Заметим, что ЗГ0 -
одномерное подпространство, натянутое на вакуумный вектор ?2, и
fl(/)Q = 0, a*(g)Q = gt-STt. (6.5.4d)
Простым алгебраическим следствием соотношения (6.5.4Ь) является
неравенство
0< fl(/)a*(f)< {a(f), a*(f)} = ||/||2,
откуда следует, что a(f) и a*(f) - ограниченные операторы в $Р.
То, что операторы а и а* ограничены, в отличие от бозонных операторов
рождения и уничтожения, легко понять из физических соображений. Бозе-
операторы а и а* неограничены из-за того, что одно и то же состояние f е
ЗГ \ можно заполнить неограниченным числом бозе-частиц. Среднее значение
бозе-операторов а (/) и а* (/) на л-частичных состояниях, в которых
каждая частица находится в состоянии f <= и равно примерно п1/2. В ферми-
случае максимальное значение п равно единице. Из антисимметрической
статистики Ферми - Дирака следует принцип запрета Паули, согласно
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed