Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/sL,(A)l = L2(tfd\A) и Кег С = L2(Rd \Л).
Так как оператор С самосопряжен, Кег С = (Im С) -L. В самом деле, для
векторов g е Кег Си/g Li{Rd)
(g, Cf) = lim fe, С (Я) /) = lim <C (Я) g, f) = <Cg, /) = 0 (7.8.10)
Я -> оо Л -> СО
и, значит, g е (Im С) 1 и Кег С cz (Im С) 1. Аналогично доказывается
обратное включение. Щ
Доказательство предложения 7.8.1. Осталось только отождествить операторы
С~1 И -Дд + /тг2. Для этого заметим, что оператор Лапласа с граничными
уело-
7.8 Общие граничные условия Дирихле 155
виями Дирихле является расширением по Фридрихсу оператора Д,
рассматриваемого как билинейная форма на С2 (Л) X Со (Л). Для geCg(A) и
f^L2(Rd) справедливо равенство
(- Д + in2) g = (- Д + т2 + АХл,) g = С (Л)" 'g (7.8.11)
и, далее,
((- Д + т2) g, Cf) = lim (С (Л)"1 g, С (X) f) = <g, f) =
Л->оо
= lim (С (Л) (- Д + m2) g, f) = (С (- Д + m2) g, /). (7.8.12)
Л ->oo
Отсюда g = С (- Д + т2) g е Im С = SD (С-1) и С-1 => -¦ А + т2 \ 2 ,•
Так как
,Л)
оператор С-1 самосопряжен и положителен, он замкнут одновременно и
как
оператор, и как билинейная форма. Поэтому С-1 есть расширение
замыкания
билинейной формы - ДА + т2, рассматриваемой первоначально на областиСд
(Л).
Область определения билинейной формы положительного самосопряженного
оператора совпадает с операторной областью определения корня квадратного
из него (см. [Kato, 1966]). Поэтому мы закончим доказательство, установив
следующее включение для областей определения операторов:
?>{C-v*) с(r)((-А + т2)^2). (7.8.13а)
В силу неравенства -Д ^ С(Я)-1, получим || VC (А,)^2 / ||^ ^ ||/\\^,
поэтому последовательность (C(X)1/2f} ограничена по ?. в градиентной
норме. Для функции he.SD(Д) имеет место сходимость <Vh, VC(A) 1/2/> <-Ah,
C^2f). Поэтому
последовательность С(А)1/2/ для всюду плотного множества / слабо сходится
в градиентной норме и равномерно ограничена (относительно этой нормы).
Следовательно, в гильбертовом пространстве с градиентной нормой она слабо
сходится к пределу С1/2/. Кроме того, справедливы неравенства
II vc1/2/ \\Li < Ita II vc \\u < у / nLi.
Поэтому
3)(C~1'2) = Im Cl>2 c: 2)(-Д*/2).
Другими словами, функция С1/2/ имеет конечную норму Дирихле для функций /
таких, что Vf <= Lz(Rd). Из леммы 7.8.4 следует, что C!/2f = О на
множестве А'. Теперь мы оценим L2(Rd~l)-норму |||-|||е функции Cl/2f в
плоскости, параллельной дА и отстоящей от нее на е. Пусть п - координата,
нормальная к дЛ, а р - набор координат в плоскости, параллельной дЛ
(тангенциальные координаты). В этих обозначениях положим ||| f |||2 =
| / (п, р) |2 dp; тогда
о
Из неравенства треугольника для нормы в пространстве L2(Rd-1) получим,
что
-r-|l|C1/2/!IL < ¦ Подставляя эту оценку в предыдущее равен-
I dn ап jп
ство и применяя к интегралу по п неравенство Шварца, найдем, что
III Cll2f |||е < е1/21| VCl/2f ||L2 < e1/21| f \\L, (7.8.13b)
Стандартным способом применяя операцию свертки, легко показать, что С,/2/
аппроксимируется в градиентной норме гладкими функциями. Слегка видоизме-
156 Гл. 7. Ковариационный оператор
няя свертку вблизи границы Л, можно аппроксимировать С|/2/ (в той же
градиентной норме) и функциями класса С2(А). Отсюда следует, что
30 (- Д1/2) П Ь2 (Л) с SD ((- ЛЛ + т2)1'2),
а это и доказывает включение (7.8.13а). |
Замечание 1. Из неравенства (7.8.1ЗЬ) вытекает, что функции из S)(-Д1/2)П
^2(А), рассматриваемые как /,2-функции по тангенциальным переменным,
удовлетворяют условию Гёльдера по переменной, нормальной к дА. Таким
образом, предельные значения этих функций на границе дА существуют и
обращаются в нуль. См. подробности в книге [Agmon, 1965].
Замечание 2. Пусть Г = дЛ. По формуле Фейнмана - Каца из
гл. 3 получим
в-*С<*>-1(*, Г/) = е-'(-Д+т!+^')(^ y)=s
= *-""'$ехр|^-А 5^((c)(T))drj ^((c)). (7.8.14)
При Я,-voо правая часть по теореме Лебега о мажорированной
сходимости стремится к е~ы* ^ %л(со)dW{xy (со). Левая же часть,
согласно доказанному предложению, стремится к ядру оператора %лехр[/(Лал-
т2) ] Хл • Складывая это выражение с соответствующей формулой для области
R2\A, получим равенство (7.8.3) как тождество ядер операторов в Z,2.
Замечание 3. Граничные условия Дирихле можно определить последовательно
на контурах Гь Г2, охватывающих области Ai, Л2, при помощи следующей
формулы, которая доказывается аналогично предложению 7.8.1:
(- Аг.ига -f т2)~1 -
" ITL [(" \+"'+Ч)~'+ (~ \+ т'+Х\У'\ (7ЯЛ5)
Замечание 4. Можно задать граничные условия Дирихле на "ребре" Ь, не
охватывающем никакой области. Используя изложенный выше метод, определим
граничные условия Дирихле на контуре дЬв, где Ьв - некоторая е-
окрестность Ь. Монотонность соответствующего ковариационного оператора по
е следует из тождества (7.8.6) (ср. с замечанием 3). Тогда
(-Лгиь + т2у'{х, r/) = sup(- Лгиаг.+т2)~1 (х, у). (7.8.16)
е
Как и выше, можно показать, что векторы ((-Агиь гЬ w2)-1/) (л:) из образа
оператора с ядром (7.8.16) при х-+Ь стремятся к нулю по нормальной
переменной.
7.8 Общие граничные условия Дирихле 157
