Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть j/sIntA, а Ле обозначает множество Л без е-окрестности точки у. В
силу утверждения (с), при достаточно малом е > 0 для х е дЛе верно нера-
150 Гл. 7. Ковариационный оператор
вснетно CD(x,y) 0. Но в области Лс мы имеем (-Д-f тг)С0 - 0. Поскольку
ковариация Со не имеет особенностей в Ле, снова можно применить принцип
максимума. Поэтому ковариация Со не может иметь внутри Л отрицательного
минимума и, следовательно, CD ^ 0. |
7.6 Изменение граничных условий
Несмотря на то что ядро Св(х, у) с произвольными граничными условиями В =
0, N, D, р и т. д. имеет особенности на диагонали х = у, разность двух
таких ядер сингулярна только на границе Г. С этими разностями мы
встретимся при обсуждении перемены викова упорядочения, поэтому весьма
интересны их оценки. Для В - N, D или р положим
6св(х)= lim [С(.г, у) - Св(х, у)] (7.6.1)
У "> ^
(с(х) = С(х, х) равно бесконечности). Как и выше, пусть Л обозначает
связную компоненту множества Rd\T.
Предложение 7.6.1. Для любого хеЛ
( const dist (х, dA)~d+' при 3,
0<всо(хХ-вс"(х)<| const(! + I lndist(jc, <ЭЛ)|) при d = 2.
(7.6.2)
Кроме того, разность -бср(х) положительна и допускает такую же оценку
сверху.
Доказательство. Положительность бcD(x) следует из предложения 7.5.1 и
определения разности бс0. Второе неравенство вытекает из (7.6.1) и
положительности функции С(х,у), а именно
ОО ОО
6сD (х) = - ? (_i)F/ С (х - х.) < ? С (* - *,) = - 6cn М- (7-6-3) j=l
/=1
Заметим, что при х-*-дА точка х приближается не менее чем к одной и не
более чем к 2Л-1 (в углах Л) точек Х{. Поэтому верхняя оценка (7.6.2)
вытекает из предложения 7.2.1 о локальных особенностях ядра С(х - у). Для
с0 доказательство проводится аналогично. Щ
7.7 Ковариационные неравенства
В предыдущих параграфах мы сравнивали ядра ковариационных операторов с
разными граничными условиями; теперь займемся сравнением самих
операторов, рассматриваемых как билинейные формы на пространстве L2 X L2.
Наметим основные идеи, опустив строгие доказательства. Напомним, что А
=?1 В означает, во-первых, включение для областей определения билинейных
форм SDbCzSDa и, во-вторых, выполнение неравенства <х, Ах) ^ (х, Вх) для
любого х е 3)в. Областью определения билинейной формы one-
7.7 Ковариационные неравенства 151
ратора Ав является множество функций
2)^={f^L2¦. V|ei2}.
Здесь V/ - производная обобщенной функции, так что Vf^2)' определена для
всех / е L2. Если V/ е L2, то можно показать, что ограничение /|г
определено и принадлежит /^-пространству на гиперповерхности. Будучи
элементом L2 как функция на гиперповерхности, функция / непрерывна вдоль
нормального направления. Подобный анализ применим и к односторонним
производным. Пусть V+/-/ обозначает градиент, двусторонний (т. е.
обычный) во внутренности Rd\T и односторонний в направлении, нормальном к
Г. Тогда областью определения оператора Vл' будет множество
= = V+/JeL2}. (7.7.1)
Заметим, что функция f^2>AN как элемент пространства Ь2 на
гиперповерхности односторонне непрерывна в нормальном направлении, но
может иметь скачок при переходе через Г. Аналогично
2)ьт = {/ е= L2: V/eI2, f I г = 0}. (7.7.2)
Так как ^с^дс^, то
- Адг - А ^ - Аг! - АГ!, (7.7.3)
где Ti с: Г2. Для обратных операторов, следовательно, имеют место
неравенства
0<Cr,<Cri<C<Cjv. (7.7.4)
Областями определения этих операторов являются множества 0 (оператор) =
{/ 6= 2) (^формТ(tm)): | (V/, Vg)LJ <
< const II g||i2 для всех g <= 2) (би?и0нремйаная)}.
С помощью интегрирования по частям легко убедиться, что это определение
эквивалентно общепринятому. К примеру, для функции f из области
определения оператора AN и функции g е С°° (у которой скачки через Г, тем
не менее, допустимы), ge2)ij:| справедливо равенство
^ V/ (х) Vg {х) dx = (- А/ (*)) g (х) dx -
- \ (n -Wf)gdx+ ^ (n -Vf)gdx. г+ г-Здесь Г+, Г_ - две стороны
гиперповерхности Г, так что функция g однозначна на Г+ и Г_, даже если
она имеет скачок на Г. Так как слагаемые в последней формуле независимы,
то каждое из ни*
152 Гл. 7. Ковариационный оператор
определяет непрерывный функционал на Ь2. Выбирая, например, функцию g
непрерывной при переходе через Г, получим, что второе и третье слагаемые
взаимно уничтожаются. Поскольку Л/ е Ь2 (берутся односторонние вторые
производные на Г), то функция Vf односторонне непрерывна в нормальном
направлении и, следовательно, во втором и третьем слагаемых Vf ir+/_ ^ L2
(Г). Поскольку отображение g -^ёМг^ не является непрерывным в Ь2,
а функционалы от g, определяемые вторым и третьим слагаемыми, непрерывны
в пространстве L%, они должны обратиться в нуль. Поэтому Vf | г - 0.
7.8 Общие граничные условия Дирихле
При изучении кластерного разложения в гл. 18 нам понадобятся граничные
условия Дирихле на множестве Г, являющемся объединением гиперплоскостей,
образующих решетку. При исследовании предельного перехода к бесконечному
объему в гл. 11, 18 в качестве Г будет выбираться поверхность двух кубов,
вложенных один в другой и отделенных друг от друга. Для того чтобы
