Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 63

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 187 >> Следующая

изучать именно такие ковариационные операторы, удобно иметь
соответствующее представление для оператора Сг, которое мы здесь и
получим. Вообще говоря, не существует разложения Сг в элементарный ряд
(типа (7.5.1)), однако утверждения следствия 7.5.2 остаются
справедливыми.
Формула для оператора Сг, которую мы хотим получить, использует
вииеровское интегральное представление. Метод, применяемый при ее выводе,
идейно прост, но технически сложен. Поэтому мы ограничимся лишь схемой
доказательства. Пусть й^ху обозначает условную меру Винера на множестве
непрерывных траекторий ш(т) из точки х в точку у, таких, что со (0) = х,
со (^) = у. Обозначим %г характеристическую функцию множества тех
траекторий, которые не пересекают Г. Иначе говоря,
( о,
ХгМ = ( I
если со (т) е Г для некоторого т, 0 ^ т ^ в остальных случаях.
(7.8.1)
Покажем, что ядро оператора е(Лг можно получить, рассматривая только те
траектории, которые не пересекают Г, а именно в
е^{х, у)*=\ът{<а)<т'хв(а>). (7.8.2)
В частности, если Г - 0, то соотношение (7.8.2) превращается в известную
уже формулу (3.1.14) для свободных граничных условий, Взяв преобразование
Лапласа от (7.8.2), получим ядро one-
7.8 Общие граничные условия Дирихле 153
ратора
00
Сг(х, у) = J сКе-*(т,~Аг)(х, у) =
О
00
dte-*"' Хг И (со). (7.8.3)
Более подробное изложение винеровского интегрального представления для
граничных условий Дирихле (и Неймана) см. в работе [Ginibre, 1971].
Наше доказательство формулы (7.8.3) опирается на другое определение
граничных условий Дирихле. Введем граничные условия Дирихле на границе Г
= дА области Л, рассматривая потенциал, равный константе на Rd\A, и
устремляя затем эту константу к бесконечности. Тем самым в пределе мы
получим Дл - оператор Лапласа в пространстве L2(A) с граничными условиями
Дирихле на дА. Аналогично построим Д После этого оператор Дг есть не что
иное, как сумма двух коммутирующих операторов Дл и ^Rd\\ в пространстве
L2(Rd). В случае когда контур Г не охватывает никакой области Л, мы
построим Дг, "раздувая" Г так, чтобы получилась небольшая область, а
затем устремим "раздутие" к нулю.
Предложение 7.8.1. Пусть А - область в Rd с границей дА, а %А(х)-
характеристическая функция А. Тогда
где А' - Rd\A.
Следствие 7.8.2. Для области А с границей Г = дА справедливо соотношение
Лемма 7.8.3. Оператор С (К) = (-А + т2 + Ъ%А,)~1 монотонно убывает по X и
сходится при Х-^оо к сильному пределу С. Ядро С (К, х, у) при оо убывает
и сходится при хфу к ядру С(х, у). Кроме того, оператор С самосопряжен.
Замечание. Далее в тексте оператор С отождествляется с левой частью
формулы (7.8.4).
Доказательство. Монотонность следует из тождества
Сг = lim (- Д + тг + Х%А) 1 + lim (- Д + т.2 + к%А,)~1 =
X -> с>о /,->00
= (- Др т2)
(7.8.5)
dC (K)ldX = - С (Я) хА,С (Я) < 0.
(7.8.6)
154 Гл. 7. Ковариационный оператор
Поскольку С (Я.)-положительный оператор, для любой функции f etj
существует lim</!, C(k)f), а оператор С = w. lim С(Я) ограничен и
самосопряжен. Положим В (к) = С (Я) -С ^ 0. Тогда || B(X)l/2f II -> 0 для
произвольной функции f, поэтому s. lim В (А,)1/2 = 0 и s. lim В (А.) = 0.
Значит, оператор С (Я) сильно Сходится к С, что и утверждалось.
Как и в § 7.5, оператор С (Я) имеет строго положительное ядро, а
тождество (7.8.6) гарантирует поточечное монотонное убывание ядра С(Я, х,
у). Следовательно, НтС(Я, х, у) =С(х, у) ^ 0 существует для всех точек х
ф у. |
Следующий результат является частным случаем сходимости графиков
операторов. Общее обсуждение см. в работах [Glimm, Jaffe, 1969, 71b].
Лемма 7.8.4. Оператор С = s. lim С (А,) отображает пространство Ь2(А) в
себя. Более того, оператор С = %\С%\ имеет самосопряженный обратный в
Ь2(А).
Доказательство. Чтобы определить оператор, обратный к С, покажем, что Кег
С = Lz(Rd\A) = (Im С) -L. Из этих двух равенств следует, что оператор
С
имеет обратный С-1, который определен на плотном множестве и
действует в
пространстве Li(A). Так как С самосопряжен (и ограничен), то Im С-1 =
область определения С = L2(А) и оператор С~1 также самосопряжен.
Сначала докажем, что L2(Rd\A) с: Кег С. Так как оператор С ограничен,
множество Кег С замкнуто. Поэтому достаточно проверить, содержится ли в
Кег С плотное подмножество L2(Rd\A). В качестве такого подмножества
выберем функции класса С2 с компактными носителями в Rd\А. Для таких
функций fsCg (Ra\A) положим
/(Я) aJ,-*C(J,)-'/ = J,-1(-A + /n")f + f. (7.8.7)
Тогда || /(Я)-/||=А-г||(-Д + m2)f || = О (Я,-1) при Я оо. Из тождества С
(Я) /(Я) = Я-1/ следует, что
|| С (Я) f II = II С (Я) {/ - f (Я)} + С (Я) f (Я) II <
<ЦС(Я)Ш-/(Я)|| + Я-1|1Л1<0(Я-1) при Я-> оо. (7.8.8)
Так как оператор С (Я) сильно сходится к оператору С, то Cf = 0.
Теперь покажем, что Кег С cz L2(Rd\A). Пусть / е Кег С, a g е Сд (Л)
Тогда
0 = ((- Д + m2) g, Cf) = <(- Д + m2 + ЯХл,) g, Cf) =
- (с (Я)-1 g, Cf) = lim (с (Я)-1 g, С (Я) /) = (g, f). (7.8.9)
Я->оо
Поскольку векторы g плотны в пространстве Lz{A), это означает, что
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed