Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 70

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 187 >> Следующая

отростков, выходящих из разных вершин. Множества петель и
взаимодействующих ребер в диаграмме G обозначаются соответственно 3? s, &
и На рис. 8.6 (а-с) показаны три возможные
Рис. 8.Б. Диаграмма для А = : ф4(f,) :С[: <р4(Ы : ClCj : Ф2 (fa).',
(а)
Ф)
Рис. 8.6. Три диаграммы (а), (Ь), (с), дающие вклад в интеграл рис. 8.5.
Диаграмма (Ь) несвязна. Ребра и 13 отвечают самодействию, a h, h -
взаимодействию. Диаграмма (с) не имеет петель.
диаграммы, дающие вклад в интеграл от полинома А, графически
изображенного на рис. 8.5. Общая формула для вычисления интеграла ^ A
dq>c дана в следующем предложении.
Предложение 8.3.1. Для интеграла от полинома А (<р) вида (8.3.1)
справедливо представление
^ А (ф) dq>c = ^ / (G), (8.3.3)
{0}
где суммирование распространено на все С?, Hi- 1 ) !! полностью
спаренных графов с г вершинами и m отростками в i-й вершине. При этом
7(G)=^ п c(-xi" П xiAx
Wei?t )
т n{
ХД/; (хп, .. •, xi"{) Д dxii- (8.3.4)
170 Гл. 8. Квантование - интегрирование
Замечание 1. В формуле (8.3.3) отростки диаграммы Ge? считаются
перенумерованными. Это естественно, поскольку никаких свойств симметрии у
функций /<(*;/) не предполагается. Если же некоторые из функций /; (или
все они) симметричны при перестановке своих л, аргументов, то равенство
(8.3.3) можно переписать в виде
$Л(ф)<*фс = ?/(0)с(0), (8.3.3')
{G}'
где {G}' - класс эквивалентных графов (дающих одинаковое значение для
величины 1(G), поскольку они различаются только нумерацией отростков,
выходящих из одной вершины), a c(G) - число эквивалентных графов (с
перенумерованными отростками).
Доказательство. Воспользуемся рекуррентным соотношением (восходящим к Эр-
миту)
Ф [х\) ... Ф (хп):с. = Ф (*i) =Ф (х2) ... ф (хп)-с. -
I I
п
- Z ci (*1- */) :<Р(х2) • • • ч> (х/) Ч>(хп):с.> (8-3.5)
/= 2 1
где сомножитель под крышкой опущен в произведении (см. (9.1.7-8)). Нам
понадобится также тождество (см. (9.1.6))
п
:ф (х2) ... ф (хпу.с. = ? 6 (у-х,) :Ф (х2)... Ф^)... Ф (хп):С{.
(8.3.6)
/=2
Применяя формулы (8.3.5-6) и (8.2.1), можно путем интегрирования по
частям
исключить из интеграла
$ :<Р(*п) ¦ ¦ ¦ У (xini):CtB (Ф) <*Фс
сомножитель ф(хм). При этом в подынтегральном выражении
появится член с
производной б/бф, примененной к произведению ;Ф (*12) •.. ф
(*ini);Cl.8 (ф). Про-
изводная бВ/бф, как видно из формулы интегрирования по частям, породит
взаимодействующее ребро в G и ковариацию С гауссовой меры. Производная
выражения ;ф (jcI2) ... Ф (xlnJ:Ci вместе со вторым членом в правой части
(8.3.5) породит петлю в графе G и ковариацию бСь Повторяя эту процедуру
до тех пор, пока не останется ни одного ф, придем к формулам (8.3.3-5). |
Замечание 2. Если Сi = ... = CV = С, то 6С,- = 0 для всех i. В этом
случае пропадают все петли и мы получаем
Следствие 8.3.2. Пусть
Г
Л (ф) = П :<p"i (fi)-c- (8.3.7)
Тогда ^Лс?фс = 1(G), (8.3.8)
8.4 Формальная теория возмущений 171 где суммирование происходит по всем
графам без петель, и
г
/(G)=Sf П С{х1'' •••> xin.) l]dXi!. (8.3.9)
- /1=1 1 = 1
Замечание 3. В предельном случае (который обоснован в § 8.5) функций вида
?i(xa, xi2, ..., xir) = ft (х) б (х - хп) ... б (x - xlr)dx (8.3.10)
рассматриваются мономы Вика
:ф"г'(/,-):сг = jj :cpni(x):Cifi(x)dx (8.3.11)
и их произведения. Для таких полиномов получаем Следствие 8.3.3. Пусть
Г
А (ф) == ij :ф"' (x)\Ci fi (х) dx. (8.3.12)
i = 1
Тогда $ А (Ф) dyc = ? I (G), (8.3.13)
{0}
где G пробегает то же множество графов, что и в формуле
(8.3.3), а
Г
I(G) = \ Д C(xi" xd П bciM)\[fi{xi)dxi. (8.3.14)
1<=&1 1 = 1
8.4 Формальная теория возмущений
Интересны не только гауссовы интегралы, но и интегралы от виковых
произведений Л(ф) по мерам вида
dpi = d\ic = (1 /Z) e~v dq>c, (8.4.1)
где нормирующий множитель Z выбран так, чтобы ^ц = 1.
В этом случае интегрирование по частям не позволяет свести интеграл от
Л(Ф) к сумме конечномерных интегралов. Формула интегрирования по частям
J Ф(Л Л(ф)^= ^(Сф, А (8.4.2)
содержит дополнительный член, возникающий в результате дифференцирования
экспоненты е~у. Многократное применение этой формулы приводит к ряду,
каждый член которого есть интеграл по мере d\i от степеней V (точнее,
степеней бУ/бф). Как и в § 8.2,
172 Гл. 8. Квантование = интегрирование
представим каждый интеграл в виде суммы вкладов по диаграммам Фейнмана.
Для монома :ф":с диаграмма представляет собой вершину с п свободными
отростками. Первому члену в правой части (8.4.2) соответствуют ребра,
полученные спариванием этих отростков. Второму члену соответствует новая
вершина (с одним отростком, спаренным с одним из отростков ф).
Многократное применение формулы (8.4.2) приводит к выражению, в котором
отростки соединены либо друг с другом, либо с отростком
"экспоненциальной" вершины, порожденной новым множителем бУ/бф.
Теперь вместо функции V рассмотрим XV и напишем
Поскольку мера d\k в общем случае является сингулярным возмущением меры
dqc, то ^ А (ф) cfjx, вообще говоря, не аналитическая
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed