Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что
Cd^Cn. (7.10.5)
В предыдущем замечании мы объяснили, что Cn-это ковариационный оператор С
с граничными условиями Неймана на гиперплоскости П, и при этом доказали
обобщение свойства монотонности, установленного в § 7.7-8. А именно, если
оператор С = = (-Дв + /)-1 (c)-инвариантен, то Cd^Cn, где D и N -
соответственно граничные условия Дирихле и Неймана на П и граничные
164 Гл. 7. Ковариационный оператор
условия В на Г\П. Более того, свойство монотонности (7.10.5) эквивалентно
свойству положительности при отражениях относительно П.
Рассмотрим теперь периодические граничные условия. Для этого вместо Rd
возьмем тор Та, а вместо гиперплоскости П - перегородку, делящую тор на
две равные части. Это легко представить наглядно, вложив тор 7м в
пространство Rd+l и продолжив перегородку П по гиперплоскости в ^?d+1.
Случай d = 1 изображен на рис. 7.1. Теперь П±-проекции на пространство
/^-функций, носители которых лежат по одну сто* рону от П. Наряду с
периодическими допускаются и граничные условия В Дирихле и (или) Неймана.
С учетом этих изменений формулируются определения 7.10.1-2. Как и ранее,
доказывается
Теорема 7.10.2. Пусть оператор С "=¦ (-Ав + /)-1 0-инвариантен в
пространстве Ь2(Та). Тогда С положителен при отражениях.
В заключение отметим, что вместо пространства Rd или тора Та можно
рассмотреть решетку Zd или конечную периодическую решетку Z" с шагом б. И
в этом случае для классических 0-инва-риантных граничных условий имеет
место свойство OS-положительности. Для доказательства опять используется
неравенство Cd ^ С, которое снова можно установить, введя граничные
условия Дирихле для решеточного оператора С-1 и подходящим образом
варьируя его массу (см. § 7.8 и 9.5).
Теорема 7.10.3. Имеют место решеточные аналоги теорем 7.10.1 и 7.10.2.
Глава 8
Квантование = Интегрирование по функциональному пространству
8.1 Введение
В этой главе мы начинаем построение квантовой модели Р(ф)г, которое
закончим в гл. 11-12. Мы изложим здесь эффективные методы подсчета и
оценивания интегралов
$Л<*Ф= ? 1(G) (8.1.1)
О-граф
Рис. 7.1. Отражение тора Т1 относительно гиперплоскости; Т^±-две
компоненты множества Т1 \П.
8.2 Диаграммы Фейнмана 165
от полиномов Л = Л(ср) по гауссовой мере с/ф. Имеются различные
эквивалентные способы вычисления гауссова интеграла от полинома, такие,
как интегрирование по частям, разложение Л(ф) по полиномам Эрмита или
использование операторов рождения и уничтожения. Все эти методы чисто
алгебраические. Графы (или диаграммы) Фейнмана G служат удобным
мнемоническим средством для записи и перечисления всех слагаемых,
получающихся при вычислении интеграла (8.1.1) любым из этих способов.
Каждое такое слагаемое 1(G)- это интеграл по пространству конечной
размерности, зависящий от ковариации С меры dq>. Оценки таких интегралов
получаются с помощью неравенства Гёльдера и оценок для С типа
С{х - у) = ядро (-А + т2)-1 <=Ьр(х - у), которые существенно зависят от
размерности d пространства-времени. В этой главе мы рассматриваем случай
d = 2 (случай d - 1 содержится в нем как частный случай). При d = 2
перенормировки в квантовой теории поля достаточно просты. В частности,
для модели Р(ф)2 перенормировки ограничиваются вычитанием, связанным с
виковым упорядочением. Мы покажем, что это бесконечное вычитание приводит
к определенному ответу. Так, например, в конечном объеме Л определен
интеграл
V=\):P{ф (*)) :dx<=L2 {dq>),
Л
в то время как ^q>(x)2dx обращается в бесконечность для почти л
всех фе2)'. Далее мы будем рассматривать только ограниченные снизу
полиномы Р. Хотя при этом интеграл ^ : Р (ц>) (х): dx не ограничен снизу
(в силу викова упорядочения), он, тем не менее, полу-ограничен всюду, за
исключением множества малой меры. Этот факт позволяет показать, что e~v
^Lp(d(р) для всех р < оо.
8.2 Диаграммы Фейнмана
Диаграммы (или графы) Фейнмана - это мнемонический прием, позволяющий
сводить гауссовы функциональные интегралы к конечномерным интегралам. Они
получаются в результате применения формулы интегрирования по частям из §
6.3:
jj Ф {f) А (ф) d(fc = jj (Cf, бЛ/бф) diрс. (8.2.1)
После многократного интегрирования по частям интеграл J Adq>c от полинома
А (ф) сводится к сумме конечномерных интегралов
^Adq>c= J^IiG), (8.2.2)
(О
166 Гл. 8. Квантование = интегрирование
где G пробегает множество диаграмм, 1(G) - величины, выражаемые в виде
некоторых конечномерных интегралов, приписываемых диаграммам G, а С
обозначает ковариацию гауссовой меры. (Некоторые авторы определяют
диаграммы как классы эквивалентных графов, мы же не делаем различия между
словами "диаграмма" и "граф".)
Простейший пример, на который будут опираться наши дальнейшие примеры -
это интеграл от произведения Л(ф) -
= ф(/1)ф(Ы ... Ф (fr). Интеграл ^ A dcpc есть не что иное, как
момент меры dq>c. В частности, положим
(f>g)c=\ f(x)C(x, y)g(y)dxdy. (8.2.3)
Тогда ^ф(А) ... ф(/г)й?фс = 0 при нечетном г, а при четном г
J А (<р) dyc = J ф (/J ... ф (fr) dyc ="
