Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= (8.2.4)
где суммирование идет по всем (г-1) (г-3) (г-5)... 1 = (г-1)!! различным
способам разбиения г элементов на пары , /;/+1}.
Каждому слагаемому суммы (8.2.4) сопоставим некоторую диаграмму Фейнмана
G, а величину 1(G) положим равной самому этому слагаемому. В общем случае
мы сформулируем совокупность правил, по которым каждой диаграмме
сопоставляется некоторый конечномерный интеграл, а также другой набор
правил, сопоставляющий интегралам вида ^ А (ф) dq>c определенные
диаграммы.
Под диаграммой понимается набор вершин (представленных точками в
пространстве Rd), ребер (представленных отрезками, соединяющими две
вершины) и отростков (представленных отрезками, у которых лишь один конец
совпадает с некоторой вершиной, а второй свободен). Каждый отросток
отвечает множителю ф(х) в подынтегральном выражении, а вершина, из
которой он выходит, отвечает аргументу х этого множителя. Формулу
интегрирования по частям (8.2.1) можно интерпретировать на языке диаграмм
как спаривание (соединение) двух отростков и образование ребра, которое
вносит в подынтегральное выражение для 1(G) про-пагатор С(х, у).
Преимущество диаграммной техники состоит в том, что она позволяет сразу
проверить, нет ли среди слагаемых 1(G) в сумме
(8.2.2) расходящихся интегралов. Как мы увидим в § 8.3, при d - 2
виково упорядочение приводит к тому, что такие бесконечные члены не
входят в сумму (8.2.2).
В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла
^Ф(^i) ••• ф(*е)^фс. (8.2.5)
8.2 Диаграммы Фейнмана 167
л4 дс9
\ /
*1
у
Рис. 8.1. Диаграмма для монома <p(*i) ... <р(*в).
х4
У*
*1
*2
Х5
Рис. 8.2. Вид подынтегрального выражения после того, как член <р(х4)
проинтегрирован по частям: одна из пяти возможных диаграмм.
Л
fБ
Рис. 8.3. Фейнмановская диаграмма, дающая вклад в интеграл
^ф(Ы ...ф(М^фс-
Здесь мы взяли предельный случай //= 6Xj. Подынтегральному выражению
сопоставим граф, в котором каждой точке Xj отвечает вершина, а каждой
вершине - отросток, обозначаемый дХ/
(рис. 8.1). Интеграл ^ A dcpc выражается в виде суммы по диаграммам без
свободных отростков (которым соответствует функция на пространстве ?D',
равная константе). Соответствующие 15 диаграмм (в случае интеграла
(8.2.5)) можно получить, соединяя между собой всевозможными способами
отростки, изображенные на рис. 8.1. В частности, если мы с помощью
формулы (8.2.1) проинтегрируем (8.2.5) по частям, выделив сомножитель
ф(х4), то получим в правой части (8.2.4) сумму по тем диаграммам, у
которых отросток Xi спарен с одним из остальных пяти отростков (рис.
8.2). Диаграмма, изображенная на рис. 8.2, соответствует подынтегральному
выражению С(л:ь х4) ср (х2) Ф (*з) ф (*s) ф (*ч) • После трех
последовательных интегрирований по частям интеграл от произведения Ф(Я1)
... ф(яв) сведется к сумме, каждому слагаемому которой отвечает некоторая
диаграмма (рис. 8.3). Диаграмму без отро- рис. 8.4. Простейший стков мы
будем называть полностью спа- f . .
ренной. Мы можем снова вернуться к мно- гРаФ для j Ч'М'РиП
168 Гл. 8. Квантование = интегрирование
жителям /(a'i) ... f(x6), и тогда интеграл ^ ф(/0 ... ф(/бЫфс
представится как сумма величин 1(G). Диаграмма, изображенная
на рис. 8.4, отвечает величине 1(G) = (/, g)c = ^ / (*) С (х, у) X
Xg(y)dx dy. Полностью спаренному графу G, состоящему из связных компонент
G - G\\j G2\j ... U Gk, соответствует величина
I(G) = I(G1)I(G2) ... I(Gk)= П (8-2-6)
Связные
компоненты
Пусть G - граф с ребрами I, соединяющими точки пространства-времени Xiv
Х[,. Кроме того, пусть 1\- вершина графа G, соответствующая точке xit.
Вклад такого графа G запишется в виде
1(G) = Si'll C(xti, Х;,)\ Д Ol(Xli)dXli)' (8-2-7^
1 Ребра /Вершины
V в G / /у в G
8.3 Виковы произведения
Гораздо важнее уметь интегрировать более сложные функции, и особенно
виковы мономы и их произведения. Пусть
:ф" (f)'-c = J :<Р (*i) • • • Ф (хп)-с f(x..xn)dx, ... dxn
и Л (ф) = П :фЧг (fi)'-ct- (8.3.1)
i = 1 '
Здесь : \с обозначает виково упорядочение, соответствующее гауссовой мере
с ковариационным оператором С (§ 6.3). Введем обозначения
б Ci(x,y)=C(x,y)-Ci(x,y), 6ci(x) = 8Ci(x,x). (8.3.2)
При выводе правил вычисления интеграла ^ А (ф)с?фс удобно пользоваться
диаграммами, в которых член :фп(\):с представлен единственной вершиной
(помеченной символом f или (х\, ..., хп)) с п свободными отростками,
обозначенными х\, ..., хп. В качестве примера рассмотрим полином Л(ф)
вида (8.3.1), у которого г - 3, "1 = 02 = 4, Пз = 2. Ему соответствует
граф, изображенный на
рис. 8.5, а сам# интеграл ^ Лс?фс отвечает, как и выше, сумме по
графам, полученным спариванием отростков графа для А всеми возможными
способами. (В этом примере будет 9!! таких графов.) Мы должны различать
два типа ребер в диаграммах, дающих
вклад в интеграл ^ A dcpc, а именно петли ("самодействующие"
ребра), полученные соединением двух отростков, выходящих из
8.3 Виковы произведения 169
одной вершины, и "взаимодействующие" ребра, полученные соединением двух
