Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отделены от 1 и для любого I справедливо неравенство ? п{Р ^ п.
i
Тогда при достаточно большом к
5П("'"-й,)^с с/Гк-'Пу
Z = 1 Z-1
Доказательство. Неравенство Гёльдера дает
/=1
II Lpf
178 Г л. 8. Квантование = интегрирование
Применим теорему к каждому сомножителю. Константа в теореме равномерно
ограничена для любого р, отделенного от 1. Выбрав достаточно большое х и
чуть уменьшив е, мы сможем заменить (const)' единицей. Это и дает
требуемое неравенство. В
В этих оценках мы не воспользовались замечательным фактом, что ядро
каждой отдельной диаграммы локализовано в пространстве-времени. Для
рассмотренных выше функций R вклад в интеграл дают 0((2п,/2)!) диаграмм.
Но вклад большинства из них ничтожно мал в силу экспоненциального
убывания ядра С(х, у) при \х - у|->оо. Чтобы воспользоваться этим
обстоятельством, рассмотрим покрытие плоскости R2 единичными квадратами
Д/, помеченными точками решетки i е Z2. Будем считать, что носитель
функции w(x) из (8.5.12) лежит в Дг, X • • • Х^гг. Пусть
М (А) =?{": Лг/ = Л}
обозначает число отростков (линейных множителей ф(х)) полинома R, вершины
которых попали в ячейку Д.
Теорема 8.5.5. Пусть полином R определен выражением (8.5.12), причем supp
w ст Д/j X • • • X Дг'г и п(^п. Пусть, кроме того, выпуклое разложение
оператора С е 9? m не содержит ковариационных операторов с периодическими
граничными условиями. Тогда
| J R d<fc | < || w \\Lp J] N (Д)1 (const m-4<f (Л),
А
где q = р'п, а р' - индекс, сопряженный к р.
Доказательство. Мы повторим здесь оценки теоремы 8.5.3. Напишем
IS*d(Pc|<Z|/(G)|-
По предложению 7.9.1
lClLg (^ХА^0^) e-mdiS*^' Д/).
Отсюда, так как каждое ребро состоит из двух отростков,
|/(G)|<0^n(OT-1/,7)W(A^e-mdist(0>|| w )]Lp,
где dist (G) = У dist (Дг< (?), Дгз (г)). Надо показать, что ШО
у e-mdlst(G)< Д (ConstW(A)iV(A)t).
<3 Д
Во-первых, заметим, что для фиксированной ячейки Д всевозможные
перестановки ее отростков приводят к различным диаграммам. Далее, если мы
фиксируем какой-нибудь способ соединения отростков из разных ячеек Д, то
каж-
8.6 Негауссовы интегралы для случая d - 2 179
дому такому способу соответствует Ц N (А)! диаграмм, отличающихся лишь
д
перестановками отростков в каждой ячейке. Поэтому надо просуммировать
ехр{-m dist(G)} только по всем этим способам. Покажем, что
Е e-mdi&t(G>=? П ехр [-и dist (Atl (/). Д(-г m)]< JJ const" (д>.
Ы" i> (I) l Д
Мы только увеличим сумму, если для каждого ребра будем суммировать по
всем ячейкам. Следовательно, верны оценки
^ е-тп dist(G)^ e-m dlst (Д, Д')-рисло ребер
Ы"> L Д' \
< const4HCJI° ребер = П const* (Д\ 1
д
8.6 Негауссовы интегралы для случая d - 2
В этом параграфе мы установим основной результат всей главы: в двумерном
случае для ограниченного снизу полинома Р экспонента е~:Р'
интегрируема. Этот результат--ключевой момент в
построении модели Р(фЬ, поскольку соответствующая ей мера в
функциональном пространстве с точностью до нормирующего множителя имеет
вид е~'Р: dcp. Наш результат относится к взаимодействию Р, определенному
в конечном объеме, и :Р: =
= ^ :Р (ф (x)):cdx, Z = ^ е~ :Р:Лр. В гл. 11 (а также с помощью л
другого метода в гл. 18) мы совершим предельный переход к бесконечному
объему.
В дальнейшем нам понадобится изменять ковариацию. Для С j, Сге^т
определим функцию бс (х) = lim [С2 (х, у)- Сг(х, у)].
У-+Х
В этих обозначениях формула викова переупорядочения выглядит так:
[п/2]
:ф (х)п:с = V -------------г бс (х)! :ф (х)п~2!:г . (8.6.1)
/Го _ 2у')! у'! 2
Обозначим f = {f0, ..., fn) набор коэффициентов полинома
П
Р (I. /) = Е // 00 I1 И положим /= о
:Р(Ф. /):с^ Е V(f/):c. (8.6.2)
у ев 0
Виково переупорядочение можно рассматривать как преобразование Т
коэффициентов f, определяемое тождеством
:Р(Ф> /):С1 = :Р(Ф, Tf):c, (8.6.3)
180 Гл. 8. Квантование = интегрирование
Поскольку мы интересуемся, главным образом, аппроксимацией трансляционно-
инвариантных взаимодействий в конечном объеме, естественно было бы
выбирать коэффициенты в виде fj = const хл, где х л. - характеристическая
функция ограниченной области Л. Однако при изменении ковариаций и
соответствующем виковом переупорядочении этот класс коэффициентных
функций оказывается слишком узким (т. е. не инвариантным относительно
преобразования Т). Это видно также из определения характеристического
функционала S{f}, приведенного в § 6.1. В самом деле, функционал S{g}
определен при помощи возмущения f, -> fj + ig - f\, так что S {g} - Z
{f'}/Z {f}. Чтобы коэффициентные функции fj изучать более систематически,
потребуем выполнения следующих условий:
supp fj сг supp fn = А, Л ограничено,
fi/fn ^ Ln/(n-i), 0 ^ fn ?= Lno, (8.6.4)
0 sg: \jfn e Loo (A), n = degP четно.
Введем два функционала, измеряющих величину набора /:
"m=Eiiw,iC"". (8.6.5)
ЛК0 = Ё|||,]|1л,"_". (8.6.6)
Предложение 8.6.1. Пусть в преобразовании f-^Tf викова переупорядочения,
определяемом формулой (8.6.3), операторы Ci, Сг е'g'm. Тогда отображение
Т переводит класс наборов (8.6.4) в себя и, кроме того, (Tf)n - f".
