Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= Лкл ^ Г|, что следует из спектральной формулы Лемана (6.2.9).
Оценка dm2Jda < Z из § 17.4 влечет за собой следующие соотношения для
критических индексов:
1 < (2 -?/v)v sS (2 -r])v, (17.7.2)
и, как частный случай, 1/2 ^ v. Каноническая оценка у вытекает из
неравенств 0 d%~l/da 1, установленных в § 17.4.
Вернемся к оценке К2 ^ const в теореме 17.3.2. Как следствие, Яг(е)
обязана иметь неотрицательный показатель степенной асимптотики по е. При
d = 3
А<2 ?3\'+2'у-(2Д+у) - g3v+Y-2Д
где у - индекс значения восприимчивости, а Д - индекс массовой щели,
связывающий четырехточечную и двухточечную функции. Отсюда мы заключаем,
что 0 ^ 3v + у - 2Д. С другой стороны, если ^2=7^0 при о = Ос, то с
необходимостью имеет место "гипер-масштабное" соотношение 3v -f- у - 2Д -
0.
Существуют два подхода, в рамках которых могут быть получены индекс v и
гипермасштабное соотношение: высокотемпературные разложения и
суммирование по Ворелю. Высокотемпературные разложения использовались
Вортисом и другими в случае модели Изинга. Эти методы применяли также
Бейкер и Кинкейд Baker, Kincaid, 1980] в области сильной связи (модель
Изинга: :J. Rosen, 1977], [Constantinescu, 1980], [Caginalp, 1980a, b],
'Constantinescu, Storter, 1980]) для модели Яф^. Суммирование по Зорелю
рядов теории возмущений для непрерывной модели Яф^, упомянутой в § 9.4,
было использовано Легийу и Циин-Жюстеном [LeGuillou, Zinn-Justin, 1977].
Ни один из этих методов не дает математически строгой оценки ошибок. Для
3v + у - 2Д (или других подобных величин) получены следующие результаты:
ВТ: 0,038^$ Вортис и др.
ВТ: 0,028 ± 0,03 Бейкер, Кинкейд
Борель: 0,000 ± 0,003 Легийу, Цинн-Жюстен
Таким образом, высокотемпературные (ВТ) ряды, вероятно, свидетельствуют о
нарушении гипермасштабности. По-видимому, разница в этих вычислениях
возникает из-за различия в определении индекса v. В частности, имеем
ВТ: v = 0,638io°,om
Борель: v = 0,6300 ± 0,0008,
338 Г л. П. Критическая точка в модели ср4
Значит,
3 (VBT - Vfiopeflb) = 0,024±о:ом.
чем и объясняется расхождение в величине 3v + V - 2А.
Эти результаты свидетельствуют о наличии ошибки по крайней мере в одном
из следующих пунктов: (1) гипотеза универсальности: Изинг ?"ф4; (2)
гипермасштабное соотношение: 0 = 3v + + Y - 2Д; (3) оценки ошибок
высокотемпературных разложений; (4) оценки ошибок при суммировании по
Борелю. Вычисление дальнейших членов высокотемпературных разложений как
для модели Изинга со спином 1/2, так и для моделей Изинга с более высоким
спином [Nickel, 1980] дает основание думать, что приведенные выше оценки
ошибок в высокотемпературных разложениях, быть может, слишком
оптимистичны. См. также [Bender, Cooper, Guralnik, Roskies, Sharp, 1981].
Этот анализ, по-видимому, свидетельствует о том, что в вычислениях очень
важно учесть не только саму масштабную асимптотику, но и поправки к ней.
Действительно, имеющиеся расхождения между универсальностью и
гипермасштабностью могут исчезнуть при таком усовершенствовании
вычислений.
17.8 т) < 1
В этом параграфе мы изучаем более подробно индекс т]. Именно, мы покажем,
что достаточно быстрое степенное убывание <ф(я)ф(У)> влечет за собой
экспоненциальное убывание, а это означает, что а > ос. Для сравнения
заметим, что
1 при d = 1 (точные вычисления),
0,25 при d = 2 (точные вычисления),
0,041 при d - 3 (численное исследование высокотемпературных
разложений или суммирование
по Борелю),
0 при d>4 (ренормгруппа).
Теорема 17.8.1. Рассмотрим решеточную модель ф4 или модель Изинга и
предположим, что
lim (ф (0) Ф (х)) j л: |d_1 = 0. (17.8.1)
1*1->ОО
Тогда существует такое m > 0, что
<ф(0)ф(л;)>^ 0(\)е~т№ при \х\-vоо.
Таким образом, л ^ 1. Для непрерывной ф4-модели г] г§; 2. Замечание 1.
Согласно второму неравенству Гриффитса (4.1.11),
<ф(*)ф (*/)> - <ф(*)Хф(*/)" 0,
17.8 T] s? / 339
поэтому из предположения (17.8.1) вытекает, что (ф(л-)) = 0. По теореме
16.1.1 среднее (•) определяет чистую фазу.
Замечание 2. В случае d - 1 теорема показывает, что стремление
<ф(л:)ф(г/)> к нулю при \х - у|-^оо гарантирует экспоненциальное
убывание. В одномерной модели Изннга при Т Ф 0 функция <ф(0ф(/))-^0 при i
- /->оо. При Т = 0 имеем <ф(г')ф(/)> = 1.
Замечание 3. Оценка г| ^ 2 была установлена Глиммом и Джаф-фе [1977а].
Оценка rj ^ 1 принадлежит Добрушину [1979]. Мы следуем работе [Simon,
1980]; см. также [Aizenman, Simon, 1980], [Lieb, 1980], [Rivasseau,
1980].
Доказательство теоремы 17.8.1 для решеточных полей и модели Изинга.
Поскольку <<р> = 0, мы можем воспользоваться ф4 неравенством из следствия
4.3.3. Оно принимает здесь вид
0 < <ф (г) ф (/) ф (/г) ф (/)> - <ф (г) ф (/')> <ф (/г) ф (/)) С
<<Ф (") Ф (*)><Ф (/) Ф (0> + <Ф (0 Ф (0><Ф (/) Ф (*)>• (17.8.2)
Далее, рассмотрим интерполяцию среднего (¦) s, определяемую мерой
d\is = Z~X ехр j"- sP ф (k) ф (/)J d\i. (17.8.3)
Для простоты мы выбираем решетку с ребрами единичной длины. Здесь
d\.i -
мера, отвечающая <•); 0 ^ s ^ 1; Zs - нормирующий множитель; Г -
