Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(-)л по полю в конечном объеме Л. Полагая, как обычно, для простоты
<ф(*1) ... ф(*")> = <1..........................и>,
имеем
- (I........">Л = \ [<]....". :(Р2 - <1...п>А Оф* (*):>а] dx-
(17.1.3)
Л.
Подынтегральное выражение здесь положительно в силу второго неравенства
Гриффитса. Заметим, что (бесконечная) константа, содержащаяся в :ф2:, не
входит уже (в 17.1.3), как и в (10.2.4). То же рассуждение применимо и в
случае параметра |х, но лишь для взаимодействий, задаваемых полиномом не
выше четвертой степени. У
При (я=И= 0 намагниченность М = М(а, ц) корректно определена как М(а, }х)
= <ср>, поскольку при ц ф 0 предельное поле является чистой фазой. При ц
= 0 это определение некорректно, по крайней мере в двухфазной области.
Действительно, поскольку мы использовали граничные условия, симметричные
по отношению к преобразованию ф->--ф, то <ф> = 0 при jo. = 0 и любых а.
Если допустить, что в теории с (я = 0 имеется не более двух фаз, то
правильное определение намагниченности выглядит следующим образом:
М{а) = ±( lim (ф [х) ф (^))V/2; (17.1.4)
\1 х-у |->°° /
см. § 16.1. При том же предположении о числе фаз определим массу т(ст)
как показатель экспоненциального убывания величины
<Ф (х) ф (у) > - М (от)2 ~ e-mWx~y\. (17.1.5)
Следствие 17.1.2. При ^>0 намагниченность М(ст) монотонно убывает по ст;
если а > ис, то уИ(ст) = 0. Функция т(ст) монотонно возрастает при а ^
ас.
328 Гл. 17. Критическая точка в модели <р4
Доказательство. Это утверждение непосредственно следует из теоремы и
определений величин М, т(в) и стс.
17.2 Отсутствие четных связанных состояний
Мы покажем, что спектр гамильтониана четной модели ф4 в однофазной
области, т. е. при сг > ос, ограниченного на подпространство Жчет, не
пересекается с интервалом (0,2т). Здесь Ж чет еСТЬ подпространство в Ж,
инвариантное относительно преобразования ф->--ф. Таким образом,
двухчастичных связанных состояний, которые мы предполагаем четными, не
существует. Отметим, что Жч?л порождено проекциями в Ж евклидовых
векторов Q, <p(/l) ••• п = 2, 4, ..., у которых supp/,- содержится
в области t > 0. Для А={х\, ..., хг} положим фл^ф(^0 ... ... ф(хг).
Теорема 17.2.1. Рассмотрим поле ф4 или модель Изинга с ненулевым внешним
полем и о > ас, и пусть А и В содержат четное число элементов. Тогда
(ФлФв) - <Фл) <Фв) < л ? <Фл,Фв,) (Фл \ Л.Фв \ ВгУ
Ai сг А, А\ нечетно N \ "/
В\ с В, В\ нечетно
Доказательство. Воспользуемся неравенством из следствия 4.3.3. Оно
сохраняется при снятии решеточного обрезания и при предельном переходе к
бесконечному объему. Поскольку А, В четны, а Аи Вi нечетны, А В \ Bi не-
четны. |
Следствие 17.2.2. В предположениях теоремы 17.2.1 не существует четных
связанных состояний с энергией ниже двухчастичного порога.
Доказательство. Пусть ?2 - вакуум в 3$, единственный в силу предположения
а > ас. Запишем х = (*[.......хц) как х - (х, t), где х е R"-\ Если 0(х,
t) =
= (х, -t) и
л+5={(х, t + s): (x,t)eA), то в случае, когда множество А по времени
предшествует В, имеем (Фел- e~SHVB)x-(<PA<PB+s).
В частности, если мы выберем А так, что все его точки имеют отрицательные
временные координаты, t ^ 0, то В, выбранное в виде В = {(xi - t): (х, /)
е е А] лежит в области положительного времени. Пусть А и В выбраны
указанным способом, а Ра - проектор на вакуумное состояние в Ж Тогда
очевидно, что
<Фл-5Фв+*> - (Фл-s) <Фв+*> = I e~sH (' - ра) II2,
так что теорема 17.2.1 дает оценку скорости убывания e~sH на
подпространстве (/- Pq)2@ (при s-*- оо). Для нечетных Ai вектор
ортогонален вакууму
((Q, = (фд) = 0), и поэтому по определению массы показатель экспонен-
циального убывания (Фд!_5Фв1+5) не меньше т. Таким образом,
(ffAl-s<fBl+s)<CAu Ble-2ms
17.3 Оценка константы связи 329
для некоторой константы CAi Bj, зависящей от А\ и Ви Такая же оценка
имеет место для (ф(/1 \/1,)_5Ф(а \ a,)4-s). и, следовательно, по теореме
17.2.1
||e~aW (I - Pq) |2 < const e~4ms.
Итак, не существует четных состояний, кроме Q, с энергией < 2т; в
частности, не существует четных связанных состояний в этой энергетической
области. |
17.3 Оценка константы связи
Определим безразмерную константу связи модели qp4:
Чиз = - ttid"V4 ^ (qp (*i) ... ф (х4))т dx{ dx2 dxз,
оо
где х = \ (ф (*i) Ф (х2))т dx{ = jj dp (а)/а,
о
а - квадрат массы, a dp (а) - спектральная мера Лемана. По теореме 4.1.1
х ^ 0. Для массивного четного ф4-взаимодействия в однофазной области ^ф"з
^0в силу следствия 4.3.3. Сейчас мы предположим дополнительно, что
собственная перенормировка величины поля уже выполнена; в случае
изолированной частицы массы m это означает, что dp (а) = б (а - m2)da в
окрестности пг2 - а. Докажем теперь, что ^ф"3 ограничена сверху.
Теорема 17.3.1 [Glimm, Jaffe, 1975а]. При сделанных выше предположениях
0 Афнз < const,
где безразмерная константа в правой части не зависит от параметров
взаимодействия К и о.
Набросок доказательства. Подробности можно найти в оригинальной работе.
Применяя основное неравенство Гриффитса (4.1.1), получаем (вместо <p(*i)
