Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 128

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 187 >> Следующая

отвечающие приближению среднего поля, существуют только при нулевой
температуре. Для однокомпонентной (п - 1) модели P(<p)d и для моделей
Изинга картина среднего поля применима, когда размерность d > 1. Кроме
того, методами § 3.3 было показано, что модели Р(фЬ эквивалентны
квантовой механике с одной степенью свободы и имеют единственное основное
состояние. Следовательно, скалярные (с числом компонент п - I) модели
имеют критическую размерность dKP = 1. В случае d > dKP существуют
фазовые переходы первого рода при достаточно низких температурах.
Из результатов, доказанных в этом параграфе и в § 16.4, следует, что в
случае модели Изинга со спиновым пространством S"-1, где число компонент
п ^ 2, критическая размерность dKр = 2. При d = 2 равновесное состояние
для модели ротаторов (S1) единственно, т. е. при данной температуре
существует только одно равновесное состояние. Этот факт выводится из
того, что в этом случае давление, рассматриваемое как функционал в
некотором банаховом пространстве потенциалов, дифференцируемо [Bric-mont,
Fontaine, Landau, 1977]). По построению равновесное состояние инвариантно
относительно действия группы вращений G в пространстве Rnzz>S'l~l. В силу
единственности, это состояние является чистой фазой. Таким образом,
говоря физическим языком, в этом случае нет нарушения симметрии.
Единственность равновесного состояния (в указанном выше смысле)
гарантирует отсутствие скачков у любой термодинамической функции и,
следовательно, отсутствие фазовых переходов первого рода. Тем не менее,
как объяснялось в § 5.5, не исключено существование фазовых переходов
более высокого рода и вырождение состояний, близких к равновесному.
В настоящее время не существует математически строгой теории, позволяющей
определять dKp. Примеры, которые удается исследовать, указывают на важную
роль двойственных переменных (т. е. переменных, отвечающих преобразованию
Фурье) для описания элементарных возбуждений основного состояния. В
скалярных Р(ф)-моделях и в модели Изинга такие переменные определяются
границами фаз. Поскольку действие, соответствующее от-
318 Гл. 16. Фазовые переходы
дельной связной компоненте границы фаз (контуру), растет пропорционально
р и размеру этого контура, большие контуры подавляются из-за их
экспоненциально малой активности 0(ехр(-(3-•размер)). Поэтому при больших
|3 они образуют разреженный газ, характеризующий неупорядоченную фазу для
Р (ср) -систем и модели Изинга. В случае модели ротаторов двойственными
переменными являются вихри и диполи вихрь-антивихрь, см. § 5.5.
Ниже мы докажем теорему Хоенберга - Мермина - Вагнера в той форме, в
какой она приведена в работе [McBryan, Spencer,
1977]. Из этой теоремы следует, что для 5я-1-модели Изинга с числом
компонент п ^ 2 размерность dKp не меньше 2. Для простоты мы ограничимся
рассмотрением модели ротаторов. Положим
Н = - 2 aiaj> (16.3.1)
б. С
где CiG^1, а суммирование распространено на все пары ближайших соседей
(i, /). Мы можем записать спин в виде а = (cos 0, sin 0). Тогда Я примет
вид
Я==- 2 cos(0? - 0у). (16.3.2)
б. С
Теорема 16.3.1. Пусть е > 0. Тогда существует такое (3(e) < оо, что для
всех |3 > |3(е) выполняются неравенства
ia.

К ГС
Рис. 16.1. Интегрирование по 0; в (16.3.4).
0 ^<Ой-(Тг)^ | k - /| (! е)/(2яР).
(16.3.3)
Замечание. В силу теоремы 16.1.1, убывание корреляций (16.3.3) наводит на
мысль о единственности основного состояния и отсутствии фазового перехода
первого рода. Тем не менее доказать эти утверждения, используя лишь
(16.3.3), не удается. Доказательство единственности можно найти в работе
[Bricmont, Fontaine, Landau, 1977]. Там же рассматриваются непрерывные Р
(ф)-модели. Случай произвольной группы Ли G изучается в работе [Dobru-
shin, Shlosman, 1975], где доказана инвариантность равновесного состояния
относительно группы G для случая, когда значения спина ограничены, или
при некоторых других предположениях технического характера1). Квантовая
модель Гейзенберга рассмотрена в книге [Ruelle, 1969].
') В работе Добрушина и Шлосмана рассмотрена система с произвольным
короткодействующим дважды дифференцируемым потенциалом взаимодействия,
инвариантным относительно действия компактной связной группы Ли G.
Доказано, что всякое равновесное состояние инвариантно отосительно группы
G. Условия гладкости потенциала, по-видимому, существенны. Оценки
убывания кор-
16.3 Сохранение симметрии (случай d - 2) 319
Доказательство. Положительность корреляций вытекает из следствия 4.7.2.
Для доказательства оценки сверху мы используем следующее представление:
я я
(ok, в{) = Z-1 Re J ... J ехр Jp Yj cos (9/ - 9/) } ехР V (0fe - 9/)} Ц
dQi--я -я 1.4 ) i
(16.3.4)
Предполагается, что система рассматривается в конечном множестве Л на
решетке, и доказывается, что оценка убывания корреляций (16.3.3)
равномерна по Л. Вопросы сходимости при предельном переходе к
бесконечному объему здесь не обсуждаются.
Используя периодичность и аналитичность подынтегрального выражения в
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed