Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого воспользуемся преобразованием (8.6.1) и найдем пару функций g -
(go, g2), удовлетворяющую уравнению
¦Р (Ф, f)'C0 = 'Р (Я>. f + g)-cB-
Тогда
g2 = - 66с (х) ХЯ1/2Л>
g0 = {3 (вс (х))2 + 2Я-1 б с(*)-Г 1/2§ (х/л/I) б с (лг)} хл,/2л.
Предварительно заметим, что
|6cU)|s?0(l)e~d(l +|lnrf|), (16.2.16)
где d = dist (jc, <3(А,!/2Л)). Следовательно,
dx
<К |Л|, (16.2.17)
где константа К зависит только от || | |L . Здесь мы воспользовались тем
фак-
ОО
том, что |А1/2Л| =>.|Л|. В силу неравенства (16.2.17), вклад, отвечающий
g0, при доказательстве (16.2.9) можно не учитывать.
(i) Оценка снизу. Пусть я|)(х) = <р(х) + h(x) обозначает сдвинутую
переменную поля. Функция h <= С" (>",/2Л) выбирается ниже. Применяем
формулу для сдвига поля (9.1.27')
\ ехр : Р (ф, / + g2):Cj3] d<fсв = 5 ехр [~ :Р ^ /):СВ] d^cB< О6-2-18)
еде I = {//} - множество констант связи, определяемое самим этим
равенством. Согласно замечанию 1 к следствию 10.3.2,
6ХР [~ S l° ^ dX\ ^ S 6ХР 'Р °:СВ]
16.2 Двухфазная область 313
и можно выбрать h так, чтобы оптимизировать эту оценку. В частности,
выбирая h специальным образом, получим верхнюю оценку
^0 (х) dx < к\ Л |. (16.2.19)
Из нее следует нижняя оценка (16.2.9). Заметим, что J /"(*) dx = P (h, f
+ g2)+L{h, Сд'А) =
- 6 6с (*) h {ху\dx + - (h, (-^ + I) h). (16.2.20)
Пусть h(x) = X-1/2 %s(x), где %s - сглаженная характеристическая
функция мно-
жества Я1/2Л, удовлетворяющая следующим условиям:
0 <XS W<1, Xs е С0°° 01/2Л),
Xs (х) - 1, если dist {х, д (Я1/2Л)) 1.
Кроме того, мы выбираем %s так, что
I ^Xs (х) | ^ const, (16.2.21)1
где константа не зависит от X, Л. Заметим, что
V%s М = если dist (л:, д (Л^2Л)) ^ 1. (16.2.22)'
Используя (16.2.21-22) и предположение Л_3/2 sC L, получаем, что {(h, (-
Л + /) А) = (2Л)-1 (|| Vxsl|2 + |lxJ2)<
< (2Л)~1 {const X1'2 (L + Т) + X | Л | > <
^ const ^2 (L + 7") + | Л | } ^ const | Л |.
Таким образом, второй член в (16.2.20) удовлетворяет оценке (16.2.19).
Оценим теперь первый член. Для этого заметим, что h(x)2 - X-1 = 0 прш
dist(х, д(Л1/2Л)) ^ 1. Кроме того, 0 Л-1 - h(x)2 ^ 2А,-1. Поэтому
J [(Л (х)2 - Л" ')2 + Я- {>2 (h (х)2 - Л-1) 1 (*/Ул,)] dx
< 2 (4Л'2) Я1/2 (L + T) + 4Х~3'2 [| 11|. I1'2 (L + Т) <
ОО
^ const Я-3'12 (L + Г) ^ const | Л |, где константа зависит только от
|Ц||, . Наконец, учитывая (16.2.16), имеем;
^ОО
| ^ бс (х) h (х)2 dx | бс (х) | dx ^ const Х~ | Л | ^ const | Л
|.
Х>/2Л
Суммируя эти оценки, получаем (16.2.19).
(ii) Оценка сверху. Мы получим искомую оценку сверху в (16.2.9) из
оценок; для единичных квадратов, покрывающих Я1/2Л. Воспользуемся
неравенством об-
314 Гл. 16. Фазовые переходы
условленности (10.3.7) и оценим (16.2.15) сверху. Учитывая (16.2.17),
получаем, что
^ ехр [- U7]rf<pc = jj ехр [ - :Р (<р, / + ?):Св] = ZB (/ + ?)<
< П ZN ((/ + 8) Хл) < еХР [К I л 1 ] П ZN + *2) Хд)-
д д
Здесь Z.v обозначает статистическую сумму, отвечающую ковариационному
оператору ClV = (-А^Ч-/)-1 с граничными условиями Неймана. При этом
оператор Си задает и виково упорядочение, и ковариацию гауссовой меры.
Оценим сверху Z,v ((/ + ?г)Хд)- Для этого мы получим оценку снизу для :Р
(<ри> (/+ +g0) Хд):с^- Используя затем эту оценку и неравенство (8.6.23),
получим, что
ZN ((/ + g2) Хд) < [М~1 (In Я)2], (16.2.23)
откуда вытекает требуемое неравенство
^ ехр [- W] d(fc < ехр [.КА-1 {l + (In Я)2} Я | Л | ] ^ ехр [const (In
Я)21 Л | ].
{Заметим, что Z,v((f g2)%д) можно было бы оценить с помощью
предложения 8.6.2, однако в этой оценке имеется сильная
расходимость при Я->-0.)
Для того чтобы оценить снизу :Р (<ри, (/ + g2) Хд)'cN' воспользуемся
формулой викова упорядочения (8.5.5) и запишем
- jj В (х) dx < ^ [Л (х)2 - В (Л)] dx = :Р (фх, (/ + g2) Хд):Слг-
д д
Здесь А определяется с помощью приведения к полному квадрату, а В состоит
яз остальных членов, причем в В расходимости старшего порядка
сокращаются!
А М = W2 + Т ^ + Т ?2 W - Зся (*)} Xki/2x (х),
В = {т (h № + g2 ~ 6си М)2 - /о + С-Л М 2 ^ + ^2 (¦*)) -
- 3^(*)2} ха1/2л (X) = {6Я- бс (*) - ЗЯ-1^ бс + 9 (бс{х))2 - 2с>| (дс)
(/" (*) +
+ g2 (*)) + (4Я)-1 f + 6си (*)2} хя1/2Л (*),
где (*) = б^ * CN * 6^ = О (In х), а функция б с (х) определена выше.
Таким образом,
^ В {х) dx const [Я-1 + (In и)2 + Я-1 In к] д
я константа зависит только от llill^ • Заметим, что норма М((/ + ?2)Хд)>
определяемая выражением (8.6.6), удовлетворяет неравенствам const Я-1 ^
M((f + + ?г)Хл) ^ const Я-1, где константы зависят только от |||||, .
Следовательно,
ОО
- {1 + М ((/ + g2) Хд)} (In К)2 < :Р (фи, (f + g2) Хд):Сдг- (16.2.24)
16.2 Двухфазная область 315
Применим оценку (8.6.23), положив m = М = 1, Л = Д, п - 4, L = 0. В
результате получим требуемое неравенство
Zn Ш + ё2) Хд) < ехр [Л^А-1 (In А)2]. |
Доказательство предложения 16.2.5. С учетом неравенства Шварца случаи Q2
и-Qз можно оценивать по отдельности. При этом область значений
увеличивается в два раза. Рассмотрим вначале <3з. Как и при
доказательстве теоремы 16.2.3, применяя неравенство Гёльдера, мы можем
