Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
измеренной величиной вплоть до 8-го десятичного знака у и и 11-го у g.
Такое блестящее совпадение заслуживает специального обсуждения. В
экспериментах Демелта и его сотрудников [van Dyke
_ (а* 0>|
ai*v -8nvfc^ о Of. / *
15.4 Аномальный магнитный момент 299
et al., 1979] изучался изолированный электрон в "магнитной бутылке" и
было измерено значение аномалии:
Иэксп = 0,001159652200(40). (15.4.1)
Число в скобках указывает возможную неточность в последних разрядах.
В действительности каждая элементарная диракова частица (т. е. частица с
волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Дирака), у которой удается
достаточно точно измерить величину g, обнаруживает собственную аномалию.
Аномалия для мюонов согласуется с вычислениями почти так же хорошо, как и
электронная аномалия кэл. Протон имеет намного большую аномалию, примерно
1,8, и нет надежного теоретического подсчета для этого значения. Даже
нейтрон имеет магнитный момент (примерно равный аномальному магнитному
моменту протона, взятому с обратным знаком) '). Аномальные моменты
отражают сложную внутреннюю структуру этих элементарных частиц.
При построении теории, объясняющей аномалию хэл, необходимо вместо теории
Дирака, описывающей отдельный свободный электрон, рассматривать квантовое
поле. В § 15.3 мы нашли значение g, изучая решения (линейного) уравнения
Дирака для волновой функции гр и отвечающего ей тока в случае электрона,
помещенного во внешнее электромагнитное поле с потенциалом Ап. Можно
считать, что аномалия к связана с тем, что выражение для тока /ц
изменяется вследствие взаимодействия с электромагнитным полем. Таким
образом, нужно рассматривать нелинейную систему уравнений Максвелла -
Дирака, в которой Дц и ф считаются неизвестными.
Так как предыдущие вычисления с фиксированным Дц дают значение g с
точностью до 0,1 %, имеет смысл вычислять g в предположении, что
Дц = ЛГш + вАх. (15-4.2)
где ЛГШ фиксировано, как и ранее, а 6Лц - поправка. При этом поправка хк^
= 2 разлагается в ряд по степеням 6ДЦ. Поскольку нелинейность системы
уравнений Максвелла - Дирака связана со взаимодействием 1^^ = О(е), ряды
теории возмущений для к являются рядами по степеням электрического заряда
е. Фактически в разложение входят только степени е2, поэтому обычно эти
ряды выражают через постоянную тонкой структуры а. Хотя ожидается, что
ряды расходятся, первые члены принимают малые значения и дают для к
значение, близкое к (15.4.1).
На самом деле в настоящее время нет полной ясности даже в вопросе о том,
являются ли эти ряды теории возмущений асимп-
*) Имеется в виду величина магнитного момента, выраженная в ядерных
магнетонах ц.; = eft/(2mFc), где шр - масса протона. - Прим. перев.
300 Г л. 15. Магнитный момент электрона
•готическими рядами точной теории (как это было в ч. II для рядов Я,Р(ф)-
моделей, которые являются асимптотическими, но не сходятся вблизи А, =
0). Таким образом, остается пока загадкой, существует или нет
электродинамика как математическая теория, например в том же смысле, что
для моделей теории поля в размерности d < 4, построенных в гл. 7-12, или,
другими словами, является ли электродинамика сама по себе (без учета
сильных, а возможно, и слабых взаимодействий) самосогласованной теорией.
Подобные трудности не возникают в неабелевых калибровочных теориях,
поэтому теория электронов и протонов, рассматриваемых вместе с кварками и
глюонами, стоит на более прочном фундаменте, чем теория электронов и
протонов, изолированных от остальной материи.
Возвращаясь к аномалии, отметим, что Швингер вычислил % в первом порядке
по а в 1947 г. и нашел значение к =-i (а/п) = ¦=0,001 159. Сейчас лучшее
теоретическое значение к найдено в третьем порядке по a ([Levine,
Roskies, 1976], [Kinoshita, 1979]):
*Теор = 4 (?) + 0,328478966 (-^)2 + 1,1835(61) g)3. (15.4.3)
Здесь неопределенность в последних знаках связана с неточностью
численного интегрирования. Использование оН = 137,035 963 (15) [Williams,
Olsen, 1979] дает
итеор = 0,001 159 652 566.
Различие между итеоР и Хжсп может быть связано с (еще не найденными)
поправками порядка О (а4). (Это различие не снимается рассмотрением
эффектов сильного взаимодействия.)
Выражение для g содержит среднее от плотности энергии взаимодействия
/№(л-)А^(х) по одноэлектронному состоянию, разложенное в ряд по степеням
электрического заряда е. Как и в (15.3.4-6), мы можем выделить член,
пропорциональный магнитному моменту и имеющий вид а ¦ в). Значение
соответствующего коэффициента, взятое при нулевом импульсе, определяет
изучаемую величину geti/2mc -
- Таким образом, g выражается в виде ряда по степеням е, полученного
из <J • А) с помощью последовательного интегрирования по частям, т. е. с
помощью теории возмущений, аналогичной той, которая рассмотрена в гл. 8
для бозонных моделей.
Вычисления сводятся к суммированию фейнмановых диаграмм. При этом
необходимо различать фермионные линии (обозначав'
(о) (Ь)
Рис. 15.3. Диаграммы, отвечающие вычислению g =2(1 +0(а)).
