Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
4Р Y, sin2 (Ра/2) а-1
322 Гл. 16. Фазовые переходы
Замечание 1. Если шаг решетки равен г, то мы получаем в знаменателе е~2
sin2 (ера/2) вместо sin2(pa/2), и 4е~2 Z sin2 (epJ2) -> р2 при е 0.
Замечание 2. Собственные значения решеточного оператора Лапласа Ар с
периодическими граничными условиями равны
л
- 4 Yj sin2 (ра/2), ра е= {± 2m0JL\ 0 < па < [L/2]}, (16.4.8)
а = 1
где L = |A|1/d - целое число, равное длине ребра куба Л, и па - 0, 1, 2,
..., \Ь/2]. Соответствующие собственные функции имеют вид |Л |~1/2 ехр
(i(p\l\ -+- р2/2 -+- ... -j-Pu/d))- Таким образом, правая часть (16.4.7)
интегрируема и ее интеграл ограничен равномерно по L ^ 1, d ^ 3.
Следствие 16.4.2. Усеченная двухточечная функция (фсгфгУ = <фо-ф(> ~
<фо>-<ф/>
стремится к нулю при |/|-*-оо в том и только в том случае, если
<ф/)2 = с. (16.4.9)
Доказательство. Поскольку выражение (16.4.7) интегрируемо, обратное
преобразование Фурье по лемме Римана ¦- Лебега стремится на бесконечности
к нулю. Поэтому
(Фо'Ф/) = (2")_d/2 ^ § (р) eil'p dp -> с.
|Pal<"
Прежде чем доказывать теорему 16.4.1, мы докажем с ее помощью
существование фазового перехода для n-компонентной модели Изинга при d ^
3.
Теорема 16.4.3. Пусть 3 и р достаточно велико, так что
я я |- d -1
(2n)~dl2n ^ ^ I 4 sin2(Po/2) dp < p. (16.4.10)
-л -я L а=-1 J
В предположении, что распределение отдельного спина имеет вид
(16.4.4) и h = 0,
lim (ф0 • Ф/)г ф 0.
111-*°°
При этом равновесное состояние в бесконечном объеме не являет* ся чистой
фазой.
16.4 Нарушение симметрии (случай d 3) 323
Доказательство. Поскольку d 3, интеграл в (16.4.10) конечен. По теореме
16.4.1 и в силу условия (16.4.10),
силу (16.4.6), то из (16.4.9) следует, что (фо'<Р/)г не стремится к нулю
при |/|->оо. Последнее утверждение теоремы вытекает из доказательства
предложения 16.1.3, в котором показано, что равновесное состояние не
является чистой фазой. |
Замечание. Теорема применима и к обычной модели Изинга (п - 1). В этом
случае из теоремы Ли - Янга (теорема 4.5.1) следует, что lim (сроФ// = 0
при h > 0. В силу следствия 16.4.2,
I / I -> оо
<Ф>2 = с. Пусть
так что неравенство (16.4.11) можно переписать в виде 1 - с ^1 - с, или с
^ с. Следовательно, константа с отделена от нуля равномерно по h > 0 и
lim (ф/)л ф 0. Таким образом, в модели
Изинга (как было ранее показано в § 5.4) имеется спонтанная
намагниченность при низких температурах. Теорема Ли - Янга доказана также
для моделей ротаторов с числом компонент п = 2, 3 [Dunlop, Newman, 1975],
[Dunlop, 1979а, b], поэтому приведенные выше рассуждения дают такое
Следствие 16.4.4. В модели ротаторов с числом компонент п = 1,
2, 3 в размерности d ^ 3 при достаточно больших р имеется спонтанная
намагниченность:
Докажем теперь неравенство (16.4.7). Мы будем пользоваться обозначениями
§ 9.5 для градиента функции на решетке. Введем также следующее
обозначение. Пусть функции ф(/) и f(/) определены на решетке Zd и
принимают значения в Rn. Тогда ф(!) =
~ 2 <Р(0 • f(0- Приводимое ниже доказательство следует работе
I zd
[Frohlich, Spencer, 1977].
(я>о) - с = (2лГар \jS(p)dp-c^
г- d
-1
dp < 1. (16.4.11)
Однако в случае ротатора (16.4.4) = 1. Поэтому с > 0.
Так как (ф) = 0 в
lim (ф/)л, Ф 0. h'->0
(16.4.12)
Лемма 16.4.5. Пусть д обозначает прямой решеточный градиент. Пусть
функции fa^4(Zd), a = 1, ,,,, d, и принимают зна-
324 Гл. 16. Фазовые переходы
чения в Rn, f - {fa} е (l2 (Zd))d. Tогда
(exp(Z "P(dafa)))<exp ((2p)"'H/lQ, (16.4.13)
где ||/|?=lfa(02.
I, a
Доказательство теоремы 16.4.1 в предположении, что доказана лемма 16.4.5.
Вычтем 1 из обеих частей неравенства (16.4.13). Подставим е/ вместо /,
умножим на е~2 и перейдем к пределу при е-> 0. В силу
трансляционной инвариантности
среднего (•), имеем (<jp (<?afa)} = 0. В результате получаем, что
d \\2\
< Г111/11?, (16.4.14)
Возьмем fa = (|A|~ да (-Лр)- е1р ) \Г, где д* - обратный решеточный
градиент, а v, - единичный базисный вектор в спиновом пространстве R".
Используя (16.4.8) и суммируя по п различным базисным векторам \г,
получаем оценку
d
4^ sin2 (Pa/2) S (p)< n/p. (16.4.15)
a = l
Так как (qv<p;) -положительно определенная функция, то ее преобразование
Фурье 5(р) определяет положительную меру. Отсюда и из неравенства
(16.4.15) следует, что при р = 0 имеется особенность вида (2я)<г/2сб(р),
где с -
d
неотрицательная константа. Разделив (16.4.15) на 4 V sin2 (рц/2),
получаем
a=l
(16.4.7). |
Доказательство леммы 16.4.5. Мы доказываем лемму для случая конечной
периодической решетки (тора) Л. Поскольку мы предполагаем, что в
предельном переходе к бесконечному объему имеется сходимость, лемма
справедлива и для всей решетки Iй. При доказательстве используется оценка
по методу многократных отражений. Перепишем q>(c)afa) в виде
Тогда
Ф (<Va) = КЧ>) (fa) = Z fa (0 (- Фг + 4>/_в )•
1еЛ 4 а/
-("р(Е =
(Фг " Ф/-еа + lf" (/))2 j 11^
S еХР (~ Z Т Р (ф< - Ч-'аУ) П ^
(16.4.16)
Здесь линейный (пространственно-однородный) член в гамильтониане (16.4.1)
