Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 17.4.2. При сделанных выше предположениях
-1<даа)р!=_т!<0. (17.4.4)
Доказательство.
- dS {-ip)/da = {1/2) ^ ^ [{xOzz) - (xO}{zz)] dz е~рх dx, и для
вещественных р
О < ^ ^ (xz) {yz) e-p(JC-z'e-pz dx dz - S (•- p)2.
Поэтому, согласно следствию 4.3.3 и (17.3.1), 0 ^ dS(ip)~l/da ^ 1. Однако
при р = 0 имеем S (- ip)~l 1рг=тг = - Г (р) |рг=_тг для вещественных р,
и, значит,
(17.4.4) доказано. |
17.5 Существование критической точки у модели ср4
Мы покажем, что корреляционный радиус обращается в бесконечность при
ст|стс; мы следуем здесь работе [Baker, 1975]; см. также [J. Rosen, 1980]
и [McBryan, J. Rosen, 1976]. Для простоты рассмотрен лишь случай
решеточного поля, а величина /п(ст) (только для нужд этого параграфа)
вводится как
т(а)= Нт - |п> (17.5.1)
lx-yl Iх У \
При а > ас величина т(о) есть масса (наименьшая энергия невакуумного
состояния), а при ст sg: ос она равна нулю.
Теорема 17.5.1. Масса т(о) вида (17.5.1) непрерывна как функция от ст. В
частности, масса, определенная формулой (17.5.1), стремится к нулю при ст
| ос.
17.5 Существование критической точки у модели ф4 333
Определим сначала псевдомассу Ог = пг(о) для параметра о, меняющегося в
ограниченном интервале, а ^ а ^ Ь. Пусть <-)а,л обозначает среднее по
полю в области Лс^. Положим
А = 2( sup (ф (*) ф (г/))а> Л. (17.5.2)
\ое[а, b], х, уеЛ ' /
Верхняя грань конечна и достигается при Л = Rd, а = а, х = у. Пусть m =
in (х, у, о, Л) есть единственное решение уравнения
т\х-у\
А----------------г = (фМф(2/))" д. (17.5.3
1 + (т \х-у\)а 0' л
Здесь а - константа, выбранная так, что
d-ls?a, d/2 < а. (17.5.4)
Заметим, что (d/dx) (е-х/(1 +|я|)") < 0 при х > 0, откуда следует, что
при х ф у существует единственное значение in. Пусть теперь
т (о, А) = inf т (х, у, о, А),
хфу<=К
т (а) = inf т (а, А) = lim т(а, А).
A AfRd
Лемма 17.5.2. Величина т.(а, А) непрерывна по о и строго положительна для
ограниченной связной области А. Кроме того,
О ^ in (а) ^ m (а) ^ const in (о),
О-т(а) при о < сгс.
Доказательство. Величина га (а, А) строго положительна, поскольку этим
свойством обладает <ф(х)ф(.г/)>а Для того чтобы установить последнее
утверждение, разложим в ряд все множители вида ехр[ф(х;)ф(;>С/)] в
ненормированном среднем (-)а л (подобное разложение градиентных членов
используется также и при кластерных разложениях и при доказательстве
неравенств Гриффитса; см. гл. 18). Все члены такого типа неотрицательны,
а для связной области Л по крайней мере один из них отличен от нуля.
Оценка т(а) т(а) -(-е для произвольного е > 0 вытекает из неравенств
е~(т+е) \х~у | ^ (2А)-\ ^ ф ^ Л ~ 1 <ф (л:) qp (y))g< Л <
^ е~т * х~у 1/[ 1 + (т ] х - у |)а] < е~т I х~у L
Здесь хну выбраны так, чтобы выполнялось первое неравенство; когда хну
заданы, Л выбирается с таким расчетом, чтобы удовлетворялось второе
неравенство. Следовательно, m ^ т. Противоположное неравенство вытекает
из того факта, что константа (17.5.1), как следует из вычислений с
помощью трансфер-матрицы, дает экспоненциальную оценку убывания
корреляций <ф(лг) ф (t/) > вида е~т dist' где jjst - наибольшее из
расстояний между параллельными гиперплоскостями решетки, разделяющими
точки хну (см. также § 17.1). Итак,
<ф(*)ф(</)>л<<ф(*)ф (</)>< Ае~т dIst-
где dist ^ | х - у |j-y/d .
334 Гл. 17. Критическая точка в модели ср4
Доказательство теоремы 17.5.1. Покажем, что функция m (а. Л) а+
удовлетворяет условию Липшица по переменной а, изменяющейся в конечном
интервале [а, Ь], с константой Липшица, равномерно ограниченной по А. Из
этого утверждения следует доказываемая теорема в силу леммы 17.5.2.
Поскольку от (а, Л)2а+| представляет собой нижнюю грань конечного
семейства функции, мы докажем условие Липшица для каждой функции этого
семейства в интервале, где она совпадает с m2a+1. Итак, выберем точки х0ф
у0, для которых т(ха, г/о, а, А) = т(о, А). Из определения пг вытекает
тождество
ха - уа | - In А + In (l + (т | .Vq - у о |)^) = In (cp (.Vq) Ф (*/o))<j
Л'
от
Дифференцируя по а, приходим к соотношениям
dm dm ( aim \ ха-г/и !)a~ 1
)-
У о| (1а ^|*о У "I rf(j v- , {+{in]xri__lhl)a у
(ф (ДГП> ф (уо) ф2 (г)) - (ф (лг0) ф (//<,)) <Ф2 (г))
Е
(ф (х0) Ф (уо)) ге=Л
<2 А + 2
(ф (лг0) Ф (г))(ф (уо) Ф (г))
<ф (х0) Ф (t/o)> геЛ
хфха, у а
В конце мы воспользовались неравенством Лебовица (следствие 4.3.3) для
оценки четырехточечных функций через произведение двухточечных функций и
определением величины А для оценки двух членов: г = х0 и г = у0. Заменяя
двухточечные функции выражением, включающим гп (что не уменьшает каждый
из сомножителей в числителе и не изменяет знаменатель), и пользуясь
неравенством е~а 1 для а ^ 0, получаем, что
Uo_,ji^<2^ + 2 V ---------------------------------1 + (т\*°-Уо\)а--------
--------^
da (l + (от | х0 - г |)a) (l + (от | у0 - г |)a)
Z-7^= Хо, t/o
^ 2А + 2от 2a const | х0 - у0 |а ^
геЛ , хо - г |а I У о ~ г Г
гфх0, (/о
^ 2А + 2от 2а const j х0 - уо \d
Поскольку d - а-1 ^ 0, мы заключаем, что rh~a dm/da ^ const. |
