Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
конечный
набор ребер (k, I), связывающих пары соседних точек, который определяется
так. Пусть В, обозначает шар радиуса г с центром в нуле, и пусть Г = Г, -
множество ребер, пересекающих его границу дВг. Тогда d)x = rf[i,s=o, a
йц5=1 есть мера, допускающая факторизацию d\i\ = rf|^lnl (r) где d^lnt
зависит только
от ф(()> ielntSr (внутренность Br), a d^iext зависит лишь от ф(г), г е
Ext Вг (внешность Вг). Все меры d\is ферромагнитны, четны и удовлетворяют
ф4-не-равенству (17.8.2). Далее, если г < |г|, то
(ф(0)ф(0> 1 = <ф(0)> 1 <ф(0> 1 = 0.
Поэтому мы можем написать 1
<ф (0) ф (<)) = - ^ (ф (0) ф (i))s) ds =
о
1
- J Р ]Г "Ф (0) ф (0 ф (k) ф (l))s - (ф (0) Ф (<)>5 (ф (k) ф (l))s) ds <
0 г
1
< ^ Р ^ <Ф (0) ф (k))s (ф (/) ф (i))s ds. (17.8.4)
0 (ft, ЛеГ или (/.
В последнем неравенстве мы использовали (17.8.2). Снова обращаясь к
(17.8.2), заключаем, что (ф(0)ф(?))5 монотонно убывает с ростом s.
Следовательно,
(ф (0) Ф (<)) < Р J] <Ф (0) ф (k)) <ф (/) ф (г)) < Р ^ J] <ф (0) ф (ft))
j sup <ф (0 ф (г)).
П 7.8.5)
340 Гл. 17. Критическая точка в модели ср4
Применяя оценку (17.8.1) и пользуясь тем, что |Г[ ^ const rd~l, мы
получаем для достаточно больших г неравенство
= Р Z ^ ^ ^ < 1-
г
При таком выборе а и г из (17.8.5) вытекает, что
sup {(ф (0) ф (г)): D < 111) < a sup {(ф (0) ф (Г)): D - г <. \ i I).
Далее рассуждаем по индукции; после |/|/(г+1) шагов мы получим, что (ф
(0) ф (/)) ^ а- 11 ^Л+|> sup (ф (k) ф (0) са ' ^г+1\
&=7*=1
Итак, полагая щ = (г-J- 1) 11п а, приходим к утверждению теоремы. |
17.9 Скейлинговый предел
Термодинамические функции - это не единственный класс величин, имеющих
простую степенную асимптотику вблизи критической точки. Считается, что
сама модель теории поля допускает некоторую асимптотику в критической
точке. Эта асимптотика, называемая скейлинговым предельным переходом,
связана с масштабными преобразованиями, описанными в § 6.6.
Соответствующая асимптотика, если она существует, также задает модель
евклидовой теории поля. Существование скейлингового предела (сходимость
по некоторой подпоследовательности масштабных преобразований) сводится к
равномерной оценке
S^(fXg)<\f\^\g\^ (17.9.1)
двухточечной функции [Glimm, Jaffe, 1974d],
Теорема 17.9.1. Пусть <¦>/ обозначает последовательность однофазных
решеточных или непрерывных ср4-моделей теории поля, удовлетворяющих
оценке вида (17.9.1),где | • -какая-нибудь из
норм в пространстве Шварца, не зависящая от j. Тогда некоторая
подпоследовательность этих теорий поля сходится при ;->• оо.Если размер
ячейки решетки стремится к нулю, то предельная теория удовлетворяет
аксиомам Остервальдера - Шрадера, за исключением, быть может, аксиом
единственности вакуума и (в случае когда аппроксимирующие теории
решеточные) аксиомы евклидовой ковариантности.
17.10 Гипотеза Г(6) ^ 0
Необрезанная шеститочечная вершинная функция определяется следующим
образом;
Г(0> (хххууу) - (хххууу)1 + ^ (xxxzf Г (zz') (z'yyy)T dz dz' +
+ 9 ^{xxyz)TV (zz')(z'xyy)T dzdz'. (17.10.1)
17.10 Гипотеза Г(8) 0 341
Здесь Г = - S2 где S2 1 - ядро интегрального оператора, обратного к
оператору с ядром S2(x,y). Из гипотезы о том, что
Г(й)(хххууу) ;g: 0, (17.10.2)
удается получить большое число интересных следствий, например: отсутствие
трехчастичных связанных состоянии для пропагатора, существование
скейлиигового предела и некоторые оценки критических индексов (см.
[Glimm, Jaffe, 1975с, 1976b].
Некоторые факты позволяют думать, что для однофазных четных ф4-моделей
неравенство (17.10.2) действительно имеет место. В частности, оно
получено по теории возмущений (например, при о" 0 пли при высоких
температурах); имеются также эвристические соображения, свидетельствующие
о его справедливости вблизи ос. Однако для доказательства этого
неравенства требуются свежие идеи.
В этом параграфе мы приведем некоторые примеры применения неравенства
(17.10.2). Например, имеет место
Теорема 17.10.1. Если выполнено (17.10.2), то
0 Г (х) е-3тИ, |*|-"-оо. (17.10.3)
Замечание. Из оценки (17.10.3) следует, что у Г(х) нет спектра в
интервале (0,3т), а следовательно, носитель do(а) не пересекается с
интервалом (m,3m). По этой причине в пропагаторе, т. е. среди состояний,
порожденных векторами ф(х)?2, отсутствуют трехчастичные связанные
состояния.
Набросок доказательства. Воспользуемся формулой интегрирования по частям
[Glimm, Jaffe, 1975с]:
^ <р (х) А (ф) йц (<р) = (<р (х) А) = ^ dyS (х - у) [( ) - iv'
(у) (I - Pi) A)j.
(17.10.4)
Здесь V = X ^ :<р4: dx - взаимодействие и
Р\А= ^ ф (г) Г (г - z') (<p (z') A) dz dz'.
Из (17.10.4) следует, что при х ф у
Т(х-у) = (V' (х) (I - Pi) V' (у)) = 16Л* <ф3 (х) (1 - Pi) ф3 (у)).
(17.10.5)
Раскрывая скобки в (17.10.5) и применяя неравенство (17.10.1), получаем
(16Г!Л~2Г (х - у) - 6 (ху)3 + 9 (ххуу)Г (ху) -
- 9 J Г (гг') (г W "г Ы + I(r) ,17.10.6)
Первый член в (17.10.6) есть 0(е т^х у\)ъ при \х - у\-> оо. Второй член
отрицателен. Убывание в третьем члене определяется трехчастичным
