Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пишем 1 и т. д.)
0 s? (1234) -(12) (34)= (1234) т +<13><24>+<14) (23).
Согласно следствию 4.3.3, (1 2 3 4) г ^ 0, поэтому
0 - (1234) г < (13) (24)+ (14) <23>. (17.3.1}
После симметризации по всем переменным имеем
- <1234)г < ((13) <24) + <14) (23))1/3 X
X "12) <34) + (13) (24))1/3 "14) (23) + (12) <34))1/3. (17.3.2)
Из элементарных свойств функции Грина (-Д + а)-1(*, у) находим, что
ОО
(*У/ = jj (- А + а)-1 (*, у) dp (а) < const xU - У \~d ехр (-m\ х - ц
\J2).
330 Гл. 17. Критическая точка в модели <р4
Подстановка этого выражения в нашу оценку (17.3.2) величины -(1 2 3 4) г
дает А,физ < const m~4x-2. Используя сделанное выше допущение о
перенормировке величины поля, получаем оценку
ОО
х = ^ dp(a)/a>m-2,
m-
из которой и следует утверждение теоремы: Я.фИз ^ const. |
Отметим, что окончательная оценка не зависит от m и, следовательно,
остается справедливой в пределе т->- 0. Поэтому критическая точка
(которая при d < 4 должна быть устойчивой неподвижной точкой ренормгруппы
в инфракрасной области) существует при конечных значениях ЯфИ3.
Определим теперь немного более общую константу связи fa в модели ф4; мы
покажем, что изложенный выше анализ дает и оценку константы fa. Обрезание
по частицам определяется как умножение каждой (внешней) переменной
четырехточечной функции на величину m2 - р2\р=о = т2. Обрезание
пропагатора выражается, как и раньше, в умножении на /-1. Определим fa
соотношением
0 < %i - - md+i ^ (1234)r dxt dx2 dx3 {т~2%~х)1.
•j
В %i к I внешним отросткам применено обрезание пропагатора, а к 4 - I
отросткам - обрезание по частицам. Как показано выше, (m2%)-1 ^ 1, так
что Я4 ^ ... ^ ^ fa.
Выше мы показали также, что
Яфиз = Я4 < Я2 = mWg = - та^ G'4>/x2 < const.
Теперь мы видим, что = т2% ограничено, если применимы
обычные соображения подобия. В частности, имеет место
Теорема 17.3.2 [Glimm, Jaffe, 1980]. Допустим, что для однофазной модели
ф4 выполнены условия
F (х) = m~d+2 (ф (0) ф {х/т)) <
f 0(1)| x\~id~lv2e~w при |лс|>1,
1.0 (1) 1 л: rd+2_11 npU U|<1,
где г) ^ 1 (см. § 17.4), а 0(1) - универсальные константы. Тогда
пг2% =SS const и О^Я4^Я3^Я2<Я0^ const,
где const в этих неравенствах также обозначают универсальные константы.
Замечание. Все fa одновременно отличны от нуля либо одновременно равны
нулю. В последнем случае, и только в нем, теории
17.4 Существование частиц и оценка производной 331
описывает обобщенное свободное поле. Заключительное утверждение следует
из работы [Newman, 1975b].
В качестве следующего шага мы установим непрерывность А,фИз как функции
параметров взаимодействия и константы обрезания. Мы предполагаем, что m
остается отделенным от нуля при изменении остальных параметров. Это
позволяет сделать скейлинговый предельный переход в критической точке и
снять ультрафиолетовое обрезание при некритических значениях константы
связи.С помощью преобразования масштаба можно все привести к случаю,
когда m фиксировано и равно 1.
Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, заметим, что ~Xi/Xi+1
сходится по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Поэтому
достаточно рассмотреть Яо- В условиях теоремы 17.3.2 каждая величина Xi
непрерывно изменяется в предельном переходе, при котором масса m
фиксирована и отлична от нуля, а двухточечные и четырехточечные функции
S(2) (л:, 0) и Sj-4> (х\, ..., х4) сходятся поточечно почти всюду.
Для того чтобы установить этот факт, воспользуемся, как и ранее,
неравенством (17.3.2) для любой перестановки {i\, ..., i4} набора
индексов {1, ..., 4}. После перестановки и сдвига переменных можно
считать, что iv = V, Х\ = 0 и \х2- х3\ г?Г \х3 - х4\. Можно также выбрать
m = 1. Тогда
^ Z7 (atj - х2) F (х3 - хА) dx2 dx3 dx4 ^
< ^ F (х3 - хА) F (х2) d (х2 - х3) d (х3 - х4) dx2 <
^ xdF (л:) dx ^F (л:) dx < оо.
Непрерывность Яо следует из теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
17.4 Существование частиц и оценка производной dm2/da
Здесь мы рассматриваем каноническую однофазную модель ср4 (слово
"каноническая" означает, что величина поля не перенормирована). Мы
установим оценку
dm2 (а) /da ^ Z (а) (17.4.1)
для а > ас. Здесь Z(o) есть константа перенормировки величины поля,
определяемая из формулы (17.4.2) (см. также (14.3.2)). Из
(17.4.1) при помощи аппроксимаций мы получим следующий результат.
Теорема 17.4.1 [Glimm, Jaffe, 1977а]. Для почти всех значений m
существуют частицы, т. е. Z ф 0.
332 Гл. 17. Критическая точка в модели ф4
Доказательство оценки (17.4.1). Рассмотрим Т(р) = - S(р)-1, где S(p) -
преобразование Фурье функции <ф(л:)ф(0)>, а р - евклидов импульс.
Заметим, что
ОО
3(Р) = $<Ф(*)Ф(0))е-*р*лх= p4Z/ra2 + J 4^- (17.4.2)
т2+0
оо
Условие каноничности состоит в том, что Z + ^ rfp(e) = 1
и
тг+О
= -(dT/dp2)p!=_m,. (17.4.3)
Поскольку Г = 0 на одночастичной кривой р2 = -т2(а), вектор VI' должен
быть ортогонален вектору (dtn2/da, 1) в (-р2, а)-плоскости. Таким
образом, при р2 - -т2
_ , _ЗГ_ = ,-i dm2 дГ
др2 da да da да '
Неравенство (17.4.1) вытекает теперь из следующего утверждения.
