Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ЬеГ ЬеГс
18.2 Кластерное разложение 347
Поскольку коэффициентами в (18.2.3) являются члены разложения
1 = П 1 = П [s6 + u-s6)],
то (18.2 3) действительно представляет собой выпуклую линейную комбинацию
операторов Сг, как и утверждалось выше. Свободная ковариация есть не что
иное, как
С0 = С(1, 1, ...) = (-Л+ т2)Л
а полностью выключенному взаимодействию отвечает ковариация С* = С(0, О,
...) = (- Д* + т§)-'.
Функция Швингера н статистическая сумма являются, естественно, функциями
от s. Мы используем при этом обозначения
Z(s)Ss(x)=Z(A, s)SA,"W=Sn<P(^e"^(A)d(P'" (18-2>4)
i
Z (s) = Z (A, s)=\e-w<Ud<ps,
где dys = dq>c {s), V (Л) = jj X :P (ф (x)): dx.
Л
Цель кластерных разложений состоит в том, чтобы выразить величины,
относящиеся к полностью взаимодействующей теории (s6 - 1), с помощью
свободных величии, т. е. определяемых невзаимодействующей мерой (и,
следовательно, локализованных в конечном объеме). Свободным величинам
отвечают значения параметров Sb = 0 для большинства и для их записи
удобно
определить набор s(F) = {s(Г)*} следующим образом:
( Sh при b е Г,
¦5(Г)* = {о "р" ь*г. <18-2-5>
Для конечных Г набор s(r) определяет граничное условие Дирихле на далеких
расстояниях (на Гс), в то время как s можно представлять себе в виде
общих граничных условий на Гс, совпадающих с s(r) на Г. Следующее
определение выражает свойство независимости функции F от граничных
условий на бесконечности.
Определение 18.2.1. Функция F(s) называется регулярной на бесконечности,
если для любого s
F(s)= lim F (s (Г)). (18.2.6)
{Г^$:Г конечно}
Предложение 18.2.1. Функции (18.2.4) регулярны на бесконечности. Здесь 98
cz (Z2) *, а сходимость S понимается как сходимость в 94,
348 Гл. 18. Кластерные разложения
Поскольку Л фиксировано и ограничено, существование предела (18.2.6)
устанавливается элементарно. Предложение следует из (9.1.33), леммы 8.5.2
и теоремы 8.6.2.
Первый этап построения кластерного разложения состоит в применении
основной теоремы анализа к конечному набору отличных от нуля параметров в
F(s(T)). Пусть
дГ = П djdsb. (18.2.7)
be Г
Определим частичный порядок на множестве наборов s следующим образом:
а ^ s -<=*- Ob^Sb V b <= <%.
Предложение 18.2.2. Пусть F{s) - гладкая функция, регулярная на
бесконечности. Тогда
F{s) = Yj \ drF(a(V))da. (18.2.8)
{Гс^9: Г конечно) 0<о<5(Г)
Доказательство. Обозначим G(s) правую часть (18.2.8). Мы утверждаем, что
F(s(B)) = G(s(B)) для любого конечного множества Bci Далее,
G(s(B))
есть просто сумма (18.2.8), взятая по подмножествам Г с 5 с Поскольку
F(s) регулярна на бесконечности, сходимость суммы в (18.2.8) следует из
сделанного утверждения. Сама формула (18.2.8) получается в результате
перехода к пределу при В f 3S.
Для функции f(st) одного переменного положим
sb
(6й/) (sb) = f (sb) -f( 0) = J dbf (ob) dob, (fig f) (sb) = f (0).
0
Тогда / = Eq + 6b (по основной теореме анализа), так что
1 = П (?о + ьЬ) = Z ?оХГ6Г. (18-2.9)
6<=В ГсВ
где 6Г = ТТ 6b, Eq = ТТ Легко видеть, что из (18.2.9) вытекает тре-ЬеГ
йе=В\Г
буемое тождество F(s(B)) = G(s(B)).
Следующий этап построения кластерного разложения - это факторизация и
частичное пересуммирование в (18.2.8). Напишем
... \)Хг, (18.2.10)
где каждое множество Xi есть объединение связных компонент и Xt Г) Xj - 0
при i ф j.
Определение 18.2.2. Функция F(A,s) называется свободной при s = 0, если
она представляется в виде
F (А, *(Г)) = ПЛЛ№ *(ГГШ) (18.2.11)
i = l
для любого Г и некоторого разбиения (18.2.10) ,
18.2 Кластерное разложение 349
Предложение 18.2.3. Для заданного разбиения вида (18.2.10) меры d<ps(n и
e-u'{X)d<.р5(г) могут быть представлены в виде прямого произведения г
мер, где i-й сомножитель является мерой на <?"(Х,).
Доказательство. Поскольку оператор C(s(F)) отвечает условиям Дирихле на
Гс, то он является прямой суммой операторов С (s (Г)) \L ^ Факторизация
d<fs (Г) следует из этого факта и, кроме того, может быть выведена из
(9.1.16). Поскольку :Р{ф(л)): есть локальная функция, также
факторизуется,
что влечет за собой факторизацию меры e~^v (Л) d<fs (Г). |
Следствие 18.2.4. Функции ZS и Z в (18.2.4) свободны при s - 0.
С помощью кластерного разложения мы представляем величину F в виде суммы
произведений вкладов отдельных связных графов. Мы фиксируем некоторое
множество точек (например, Х0 = х = (хи ..., Хп) - переменные в формуле
(18.2.4)). По графам, в которых Х0 не встречается, проводится
суммирование, что дает один множитель в выражении для F, отвечающий
внешней области.
Проследим подробнее за этим суммированием. Сделаем подстановку (18.2.11)
в разложение (18.2.8). Тогда
гг *(Г,)
f(A, 5) = У1 J <Эг^(АП^г, а(Гг))йст, (18.2.12)
г г=1 о
где Г; = ГП-^i. Если Xi связны, это выражение представляет собой сумму по
произведениям связных графов. Выберем теперь в качестве Х\ в (18.2.10)
объединение всех компонент, в которых встречаются точки из Хо, и пусть Х2
есть объединение остальных компонент. Фиксируем Х\ и Ti и просуммируем по
