Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
На втором этапе регуляризуются разности, аналогичные e-pv (",-*/) _ ] в
(18.1.1). Разность двух гауссовых мер можно записать в виде
1
dipCi - dq>Ci = ij (d/ds) dq>c (s),
0
где С(5) = 5С] - (1-s)C2. Тогда (d/ds)d(pc(s> можно вычислить с помощью
формулы (9.1.33), т. е. интегрированием по частям.
Для малых значений А-/то мы Докажем экспоненциальное кластерное свойство
функций Швингера. Это свойство устанавливается вначале в конечном объеме,
причем оценки не зависят от объема. Далее легко выводится, что функции
Швингера сходятся при неограниченном расширении объема и предельные
функции Швингера (не зависящие от граничных условий) обладают
экспоненциальным кластерным свойством в бесконечном объеме. Применяя
теорему реконструкции Остервальдера - Шрадера, мы строим теорию поля
Р(ср)2 в бесконечном объеме по функциям Швингера. Для этой теории
выполнены аксиомы Вайтмана и физическая масса строго положительна. Мы
покажем также, что функции Швингера аналитичны по X. в ограниченном
секторе
О < | X. | < е, - я/2 < arg к < я/2. (18.1.6)
Функции Швингера в конечном объеме, по определению, представляют собой
моменты меры dnA вида (11.2.1):
5д(л: 1, .... хп) = ^ ф (*i) ... ф (хп) dux. (18.1.7)
18.1 Введение 345
Однако для удобства мы заменяем ковариацию CJX в (11.2.1), отвечающую
условиям Дирихле, свободной ковариацией С0, так что объемное обрезание
появляется только во взаимодействии
V = У (Л). В этом случае 5 л определяется как обобщенная функция из
пространства 9'(R2n). В дополнение к мономам в (18.1.7) полезно ввести
интегралы от произведения виковых полиномов, а именно
А = ^ :ф (Я])"1: ... :ф[xjfi: w{xb ..xt)dx. (18.1.8)
Мы предполагаем, что w^9(R21), хотя можно ограничиться и более слабыми
предположениями. Определим эиррЛ как пересечение всех замкнутых множеств
С cr R2, удовлетворяющих условию
suppoJcrC.X • • • X С (/ сомножителей). (18.1.9)
Теорема 18.1.1. Пусть X принадлежит замыканию проколотого полукруга
(18.1.6), a г/т\ достаточно мало. Пусть, кроме того, А и В - функции на
9' вида (18.1.1), a d - ширина полосы в R2, разделяющей эиррЛ и supp В.
Тогда существует константа М - Мл, в и строго положительная константа т,
не зависящая от А и В, для которых
jj ABd\i\ - jj A d\i\ ^ В d\iA ^Мл,ве~та (18.1.10)
равномерно по А при |Л|->оо. Константа М не меняется при независимых
сдвигах А и В.
Теорема 18.1.2. Пусть X принадлежит замыканию проколотого полукруга
(18.1.6), а г/tri] достаточно мало. Для функций А вида
(18.1.8) величина Лф.л[ ограничена равномерно по X и А при |Л|->оо.
Следствие 18.1.3. В предположениях теоремы 18.1.1 предел при
неограниченном расширении А
^Л^[хЛ (18.1.11)
J At*2 J
существует и удовлетворяет оценке
| ^ ABd\i - ^ A d\i ^ В d\i <Л1л,ве'тй. (18.1.12)
Доказательство. Применим теорему 18.1.1 ко взаимодействию Va== V(A) +
aV(A), OsgasSl, добавляя к области А единичный квадрат Д с R2 \ А. Тогда
| Ж \ А ^ | = | S ЛИ(А) - S л S И(А) *** | < мл. Be~md• в - V (Д).
346 Гл. 18. Кластерные разложения
где d = ciisl(supp А, А). Пользуясь экспоненциальным убыванием,
просуммируем гю семейству квадратов, покрывающих Л' \ Л, и тем самым
установим, что
фундаментальная последовательность при Л { /?2. Равномерная оценка
(18.1.10) верна и для среднего (18.1.11) в бесконечном объеме.
Из аналитичности по X функций Швингера в конечном объеме, теоремы Витали
и сходимости при Л^оо для малых вещественных X получаем
Следствие 18.1.4. Функции Швингера аналитичны по X в области
(18.1.6) при малых zjm2.
18.2 Кластерное разложение
Доказательства теорем 18.1.1 и 18.1.2 основаны на разложении, которое мы
сейчас построим. Пусть 3$ - некоторое множество отрезков в R2. Нас будут
интересовать два основных примера: либо ^? = (Z2)* - множество ребер
решетки, соединяющих соседние узлы в Z2, либо $ = (Z2)*\Г, где Г -
конечное подмножество в (Z2) *. Отождествим Г сг с подмножеством Г = (J b
cz R2. Мы бу-
ЬеЕ Г
дем помечать члены нашего разложения подмножествами Г сг В слагаемом,
отвечающем Г, выключено взаимодействие ребер
Гс == $\Г, (18.2.1)
что соответствует выбору гауссовой меры с ковариацией Дирихле на Гс. В
связи с этим ребра b е Гс называют ребрами Дирихле. Каждому ребру 4еГ мы
сопоставим величину, определяющую разность между свободной мерой и мерой
со взаимодействием, аналогичную разностям в формуле (18.1.1). Эти
величины выражаются с помощью производных согласно основной теореме
анализа, поэтому ребра 4еГ называют ребрами дифференцирования.
Рассматриваемые нами ковариационные операторы являются выпуклыми
линейными комбинациями операторов Сг. Для каждого ребра введем
параметр Sbe[0, 1], измеряющий вели-
чину взаимодействия через Ь. Значению Sb = 0 отвечает условие Дирихле на
Ь, т. е. взаимодействие через b отсутствует, а значению Sb = 1 отвечает
полное взаимодействие через Ъ. Совокупность величин
* = (18.2.2)
определяет многопараметрическое семейство ковариационных операторов
C(S)= z Iи П (1 -sb)Crc. (18.2.3)
