Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(отвечающий внешнему магнитному полю) включен в меру d\iil). Итак, нужно
доказать неравенство I 1.
Рф2
*) В меры dut включаются также лишние множители е ,^-Прим. перев.
16.4 Нарушение симметрии (случай d 5= 3) 328
Среднее (•) в (16.4.16) определяется мерой (16.4.5). Из теорем 7.10.3 и
10.4.3 следует, что эта мера положительна при отражениях. Для того чтобы
это свойство представить более наглядно, мы, как и в § 7.10, вложим Л в
Rd+i. Возьмем гиперплоскость Г1, пересекающую тор Л, как на рис. 16.2.
Спины ф! разбиваются на четыре подмножества: "р* и а-. Спины а+
взаимодействуют со спинами по ребрам, пересекаемым гиперплоскостью П.
Кроме того, спины а+ взаимодействуют со спинами ф+. Спины <р+ и ф_ не
взаимодействуют между собой. Спинами {ф+, а+} исчерпываются все спины,
лежащие в Л+ = ЛПП+, и т. д.
Рис. 16.2. Тор Л, пересеченный гиперплоскостью П. Здесь изображено одно
пересечение П с Л. Ребра, связывающие спины а+ и а-, разрезаются
гиперплоскостью П. В силу трансляционной инвариантности, П можно
поворачивать на угол, соответствующий симметрии решетки.
Пусть А - функция от спинов в Л_, а В - функция от спинов в Л+. Тогда
условное среднее (•) по переменным "р* (при фиксированных а*)
представляется интегралом от выражения вида
ехр (р ? а/+ ' °Г') F (а+) 0 П dal d(sT"
I, Г
причем меры, соответствующие распределениям отдельных спинов, включаются
в F, G, так что интеграл берется в точности по мере Лебега da±.
Если А = QB, то F = G и, в силу положительности при отражениях,
0 < (QBB) = ^ ехр (р Y, at • аГ) G (ff+) G (а ~) Д dtf dor-,. (16.4.17)
l, V
О помощью преобразования Фурье определим переменные р, двойственные к (-
яр). Пусть b обозначает ребро (/, V). Тогда в общем случае, когда А'ф 9В
(16.4.17) можно переписать в виде
(АВ) = const jj ехр (- -| X O'* ~ F ^ ° da+ =
"= const ^ ехр (- ? р* j F (- р) G (р) Д
dpfr. (16.4.18)
326 Г л, 17. Критическая точка в модели у*
Заметим, что сдвиг of - oj, -> of - oj, + g (I, l') в показателе
экспоненты в
(16.4.18) переходит после преобразования Фурье в умножение на е'Р8>-1'1
К Поэтому свойство положительности при отражениях скалярного произведения
(16.4.18) приводит к неравенству
|<ЛВ>|<(<О4Л><0ВВ>)>/2. (16.4.19)
Применяя оценку (16.4.19) к (16.4.16), мы исключаем множители fа (/),
относящиеся к тем ребрам b - (1,1- еа), которые пересекаются с
гиперплоскостью П. Кроме того, полученные в результате функции fa будут
симметричными относительно отражения 0.
Действуя подобным образом, т. е. выбирая всеми возможными способами
гиперплоскость П, мы исключим из (16.4.16) все множители, содержащие
fa(0,. Таким образом, / 1, что и требовалось1). Щ
Глава 17
Критическая точка в модели ср4
17.1 Элементарные соображения
Прежде всего установим обозначения: под ср4 мы будем понимать
взаимодействие
V (ф) = А,ф4 + стф2 - цф (17.1.1)
с вещественными Я > 0, а и р. По теореме Ли -Янга в этой модели при (х ^
0 нет фазовых переходов. Высокотемпературные разложения (гл. 18)
показывают, что фазовых переходов нет также при (.1 == 0 и достаточно
больших положительных ст. Согласно § 16.2, при (.1 = 0 и достаточно
больших по модулю отрицательных ст наблюдается фазовый переход. В этой
области значений параметров предположительно имеются ровно две фазы и
существует единственное значение о = вс, разделяющее однофазную и
двухфазную области. На протяжении этой главы мы определяем ос как точную
нижнюю грань тех значений ст, для которых в модели
(17.1.1) имеется единственная фаза и экспоненциально убывающие
корреляции. (Таким образом, оператор Н имеет щель в спектре, отделяющую
точку 0 - собственное значение, отвечающее вакууму Q, от остального
спектра. Величину этой щели мы называем массой m > 0.)
Для анализа критической точки здесь используются корреляционные
неравенства. В числе других полезных подходов к изуче-
*) Приведенное выше доказательство довольно схематично. В настоящее время
известно более простое доказательство неравенства 1^1. Это доказательство
также основано на методе многократных отражений; см. [Frohlich, Israel,
Lieb, Simon, 1978]. - Прим. перед.
17.1 Элементарные соображения 321
нию критических явлений можно назвать инфракрасные оценки (§ 16.5) и
точно решаемые модели [McCoy, Wu, 1973], [Wu, McCoy, Tracy, Barouch,
1976]. Хотя разложения в ряды и применяются для численного исследования
критических явлений, использовать их для качественного анализа трудно:
критическая точка представляет собой особенность на границе области
сходимости, где эти разложения сходятся медленно. На более формальном
уровне для описания критических явлений используется ренорм-группа.
Теорема 17.1.1. Для поля, построенного по взаимодействию
(17.1.1) с граничными условиями Дирихле и ц ^ 0, функции Швингера
<Ф(*0 ... Ф(*л)> (17.1.2)
монотонно возрастают по параметрам |i и -ст.
Доказательство. Поскольку поле во всем пространстве является пределом
полей в конечных объемах, достаточно провести доказательство для среднего
