Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(16.3.4) как функции от 0ь 02, ..., мы делаем замену переменных 0/-"-
0;+Ш/, где а/ - вещественные константы, выбираемые ниже. Другими словами,
мы пользуемся теоремой Коши: интеграл по любому замкнутому контуру на
комплексной плоскости 0, равен нулю (рис. 16.1). Интегралы по боковым
отрезкам взаимно сокращаются в силу периодичности. Поэтому интеграл по
нижнему отрезку равен интегралу по верхнему отрезку с обратным знаком.
Экспонента е~ преобразуется следующим образом:
cos (0; - 0у) -> cos (0? - 0;.) ch (а( - а;.) - i sin (0; - 0^) sh (а? -
а.у (16.3.5)
Так как I ех \ - 1 при вещественных х, мы получаем, что
(ak ¦ < ехр [- (ak - a,)] ZT1 J ехр [р J] cos (0. - В}) ch (а. - 0/)]
Ц сШ. =
i
= ехр [- (ak - а,)] ZT1 J ехр [р ? cos (0. - 0у.) (1 + ch (а(. - af) -
1)] Ц dQ. <
i
< ехр [- (ak - а,)] ехр ?р ^ (ch (а. - а}) - 1)J . (16.3.6)
Положим теперь
a^r'tCU, k) - С (/, /)] = р-1(д/, (-А)"1 (в*-в,)), (16.3.7)
где C(i, /) = С(г - /)-ядро функции Грина (-А)-1, а А - оператор Лапласа
на решетке. Из (16.3.7) следует, что а/ ограничены равномерно по / и
фактически
|a;| sg: const Р-1. (16.3.8)
Поэтому
Р ? (ch (а{ - aj) - 1) < I (1 + О (р~2)) ? (а{ - а,)* =
i, I
= (1 + О (р"1)) (а, - Да) = (| + О (р-1)) Р_1 (а* - а,) =
= 4-К-а/) + °(Р-2) (ak~al)-
реляций для таких систем доказываются в работе: Шлосман С. Б. Убывание
корреляций в двумерных моделях с непрерывной симметрией.-ТМФ, 1978-т. 37,
№ 3, с. 427-430. - Прим. перев.
320 Г л. 16. Фазовые переходы
Используя (16.3.6), получаем, что при достаточно больших 0 > 0(e)
<0А ' °г) < ехР [~ 4 К ~ аг)(' + е)]- Об.З.Э)
Заметим, что, в силу (16.3.7),
О < а* -а, = 2р-"(С(0)- С(А - /)). (16.3.10)
Положительность следует из того, что C(k) как положительно определенная
функция принимает максимальное значение в начале координат.
Асимптотическое поведение решеточной функции Грина при d = 2 имеет вид
С(0)-С(/г)~-!-1п|Н 1 А 1 -> оо. (16.3.11)
271
Подставляя (16.3.10-11) в (16.3.9), приходим к утверждению теоремы. |
Из корреляционных неравенств, приведенных в следствии 4.7.2, вытекает,
что <ovOi>- (Ok)(ai) ^ 0. Поскольку среднее <•> трансляционно-
инвариантно, имеем
0 < (ok)2 < lim (ak ¦ аг) = 0.
j k- I | -^oo
Таким образом, доказано
Следствие 16.3.2. При достаточно больших |3
<о>> = 0. (16.3.12)
Замечание. В доказанной теореме можно отказаться от предположения о том,
что р велико, и получить оценку с меньшей скоростью убывания корреляций.
При этом мы докажем, в частности, равенство (16.3.12) для всех |3.
Доказательство проводится тем же способом, что и выше, но вместо (16.3.7)
мы полагаем
в/ = 8(1 +Р)-'[С(/,А)-С(/,/)]. (16.3.13)
Выберем далее 0 < 8 < 1 так, чтобы оптимизировать оценку. В результате
будет получена
Теорема 16.3.3. Существует такая константа 0<с<;1, что при всех р
0 < <а*-а/Х|А - /|-с/(1+|3) (16.3.14)
и {ak> = 0. (16.3.15)
16.4 Нарушение симметрии (случай d Js 3)
В этом параграфе мы покажем, что для векторных моделей в размерности d ^
3 имеет место нарушение симметрии и существуют фазовые переходы первого
рода. Это утверждение дополняет результат предыдущего параграфа о
сохранении симметрии в таких системах при d = 2. Методы, рассматриваемые
ниже, применимы также к случаю непрерывного поля (<р2)2 в размерности d =
3.
16.4 Нарушение симметрии (случай d 35 3) 321
Для того чтобы избежать некоторых технических трудностей, мы будем
изучать решеточную модель с периодическими граничными условиями. Мы
предполагаем существование предельной меры при переходе к бесконечному
объему и не доказываем, что периодические граничные условия в пределе
эквивалентны условиям Дирихле, используемым в других местах книги.
Рассмотрим гамильтониан (на периодической решетке)
Н (Л) = - z Фг-Ф/- Z h-ф/ (16.4.1)
M-/I-1 /еЛ
(,/еА
и распределение отдельного спина dn,-(<p), убывающее на бесконечности
быстрее любого гауссова распределения. Таким образом, предполагается, что
для любого а ¦< оо
$еа1*1'<*|1,(ф) <оо, (16.4.2)
где ф.г(<р)-положительная SO (п)-инвариантная мера в Rn. Мы предполагаем,
что шаг решетки равен 1, так что при преобразовании Фурье компоненты
импульса -л, л]. Распределение от-
дельного спина можно, например, выбрать в виде
Ф<(ф) = ехр[--Р(|<р|)]^Ф (16.4.3)
или
djLi; (ф) = б(|ф|2-1)с?ф. (16.4.4)
Мера ??)иЛв объеме Л определяется выражением
dHA = Z"'exp[- РЯ(Л)] П (16.4.5)
1еД ' ;
Так как гамильтониан #(Л) вида (16.4.1) с периодическими граничными
условиями инвариантен относительно группы симметрий SO(n), то в изучаемых
моделях
<ф/> = О при h = 0. (16.4.6)
Рассмотрим двухточечную функцию <ф0-ф/>. Ее преобразование Фурье в
предельном переходе к бесконечному объему равно
S (р) = (2n)~dl2 ? .е~'Р'1 (ч>о ¦ %)¦
I s z
Доказательство существования фазовых переходов, предложенное в работе
[Frohlich, Simon, Spencer, 1976], основано на инфракрасной (или
градиентной) оценке; см. также [Glimm, Jaffe, 1970а].
Теорема 16.4.1. Существует такая константа с~> 0, что
0<S(p)-(2jt)d/2C6(p)<---------у-2--------. (16.4.7)
